YihRae's blog

以下是一些毫无意义的文字。

有了前两章支撑函数的几何意义、泛函范数和超平面距离之间的几何关系作为铺垫，这一章将会把原文Ch 8 Thm 7、Ch 8 Thm 7'和Ch 8 Thm 18三个对偶变分问题可视化。

承接上文，这一章主要阐述超平面间的距离、商空间范数与泛函的关系。特别地，我们引入了在超平面上泛函的范数的等价定义，并给出了泛函范数的几何意义：一个泛函的等值超平面之间的距离与泛函的值的差的比值。同时也解释了为什么一些问题总是约束\(\lVert l\rVert=1\)。

这个专题记录一些讨论班的内容。这一部分可视化目前有三章内容，最初的动机是讨论Lax上的三个对偶变分问题的几何意义。这一章主要是支撑函数的几何意义以及引出局部凸空间上闭凸子集和连续线性泛函的紧密联系，并给出了一些应用。

由于前段时间一直忙着找地方上学，所以一直没有更新，先开个坑。

本篇内容是我发现的一个线性递推式的一个结论：令\(x_n=(a_{n+k-1},a_{n+k-2},\dots.,a_{n})^T\)对线性递推式\(a_{n}=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+\dots+c_ka_{n-k}\)，一定存在一个非奇异对称矩阵\(B\)，使得\(x_p^TBx_q=x_r^TBx_s\)，若\(p+q=r+s\)。特殊地，存在一个非奇异对称矩阵\(C\)，使得\(x_{n+m}=x_n^TCx_m\)。

如果让我一定要将一些内容划分成数学分析和实分析的话，那我会选择按他们所基于的“测度”来划分，即基于Jordan容度定义Riemann积分和基于Lebesgue测度定义Lebesgue积分。因此，我把这篇作为分析学笔记第一部分的最后一篇，其主要内容即为Jordan容度和Riemann积分。并且，本篇将会阐明：Lebesgue积分的完备性，绝对不是由分割值域代替分割定义域造成的，我们完全可以基于Jordan容度和分割值域给出一个Riemann积分的等价定义。而对于Riemann积分，笔记里只给出一些基本的性质，不做太多讨论了。

本节直接从多元微分着手讨论，涉及的代数知识不再加以定义和证明。\(\require{mathtools}\)

讲完函数极限与连续性之后，我们将序列与级数和函数结合起来。在本章，我们考察将度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的函数序列收敛的含义，探讨它们的极限与一些其他的运算的联系。

前半学期在忙一些其他的事情，所以这份笔记的整理搁置了一些，再加上最近考试比较多，就先写一份引言吧。