初学数学分析，很多概念理解的并不深刻，这份笔记只是初学阶段的一点整理。本篇为一些在数学分析中涉及的基本理论，包括集合论的基本概念与ZFC公理、数理逻辑基础，目的是为后续内容做好铺垫。
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一、数理逻辑基础
这一块内容是为了整个笔记的完整性，以重述概念为主。
\(\S1.1\) 命题逻辑
Definition 1.1.1 命题是一个非真即假的陈述句。
通过逻辑连接符\(\neg,\vee,\wedge,\to,\leftrightarrow\)，可以利用较简单的命题来构造复合命题，即
Definition 1.1.2 命题公式按如下规则生成：
(1) 命题变元是命题公式；
(2) 若\(P\)是命题公式，则\(\neg P\)是命题公式；
(3) 若\(P,Q\)是命题公式，则\(P\wedge Q,P\vee Q,P\to Q,P\leftrightarrow Q\)是命题公式；
(4) 当且仅当有限次应用1-3条规则得到的包含命题变元，逻辑联结词和圆括号的有意义的符号串是命题公式。
一个非常简单的递归定义，看上去还是非常清晰的。
Definition 1.1.3 若\(A\to B\)是一个永真式，则称其为永真蕴含式，记作\(A\Rightarrow B\)。
特殊地，若命题\(A\)蕴涵着某个假命题，则\(A\)为假，这即是反证法的思想：为了证明\(A\)为假，先假设\(A\)是真，再证明\(A\)蕴涵着某个一定为假的命题。
\(\S1.2\) 变量与量词
Definition 1.2.1 变量是表示某种特定类型的数学对象的符号，称未被指定为某个具体对象的变量为自由变量，否则称之为约束变量。
Definition 1.2.2 设\(P(x)\)是一个关于自由变量\(x\)的命题。全称量词\(\forall\)读作“对任意的”，即“\(\forall x\in X\colon P(x)\)为真”与“\(P(x)\)对所有的\(x\in X\)均为真”等价。类似地，存在量词\(\exists\)读作“存在”。
多个量词可以嵌套在一起，否定一个命题会使得该命题中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全程量词。
\(\S1.3\) 相等
相等遵守以下四条相等公理：
Axiom 1.3.1(自反公理) 给定任意的对象\(x\)，有\(x=x\)。
Axiom 1.3.2(对称公理) 给定任意两个同类型的对象\(x,y\)，若\(x=y\)，则\(y=x\)。
Axiom 1.3.3(传递公理) 给定任意三个同类型的对象\(x,y,z\)，若\(x=y\)且\(y=z\)，则\(x=z\)。
Axiom 1.3.4(替换公理) 给定任意两个同类型的对象\(x,y\)，若\(x=y\)，则对任意一个函数或运算\(f\)，有\(f(x)=f(y)\)，对任意一个关于\(x\)的性质\(P(x)\)，\(P(x)\)和\(P(y)\)是等价的命题。
前三条公理非常显然，用下文提到的一个概念来描述即是，这三条公理断言了相等是一个等价关系。
而替换公理则说明了这些符号只是一个泛指的变量，例如在模3的意义下，\(1\)等于\(4\)，对于函数\(f(x)=x+2\)，就有\(1+2\)等于\(4+2\)。
数理逻辑暂且就只介绍这些粗浅的概念了，接下来引入一些集合论的概念。
二、ZFC集合论
下文不对公理和公理模式做区分。
\(\S2.1\) 朴素集合论
Definition 2.1.1(非正式) 一个集合是一些确定的对象无序的放在一起的整体，同时朴素集合论中的空集、子集和集合运算等概念就不再赘述了。
同时，为了更好的描述无限集合，朴素集合论承认概括公理：
Axiom 2.1.1(概括公理)(危险) 假设\(\forall x\)，存在关于\(x\)的性质\(P(x)\)，则存在一个集合\(\{x\colon P(x)\)为真\(\}\)，使得\(\forall y\)，\(y\in\{x\colon p(x)\)为真\(\}\iff P(y)\)为真。
概括公理实则是在断言每个性质都对应一个集合，由此我们可以简单地将满足某些性质的元素都归到一个集合中。
很可惜，朴素集合论遇上了麻烦。在这之前，我想先插入一些题外话。个人认为，“反例”在学习分析时，特别对初学者而言，是加深理解的一个利器。典型的例如Weierstrass函数，对分析学产生了重要的影响。而Russell即是构造了一个在概括公理下的“反例”，冲击了概括公理。
Russell悖论 令\(P(x)\iff\)"\(x\)是一个集合，并且\(x\notin x\)"，定义\(A\coloneqq \{x\colon P(x)\)为真\(\}\)。假如\(A\notin A\)，则\(P(A)\)为真，从而\(A\in A\)；假如\(A\in A\)，则\(P(A)\)为假，从而\(A\notin A\)。因此，无论哪种情况，都有\(A\in A\)和\(A\notin A\)。
产生这个悖论的原因在于概括公理允许过大的集合存在，因此需要引入一系列公理限制集合的构造。下面介绍ZFC公理集合论。（再插句题外话：为什么朴素集合论没有那么多的公理呢？因为在假定概括公理为真的情况下，可以轻松推出下文许多公理，很可惜，这么美好的事情是不现实的。）
\(\S2.2\) ZFC集合论
先从定义集合的相等开始：
Axiom 2.2.1(外延公理) \(\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)\leftrightarrow A=B\)。
即称两个集合\(A,B\)是相等的，当且仅当\(A\)与\(B\)中的元素相同。
Remark 这个公理说明集合内的元素是集合唯一的性质。
Axiom 2.2.2(分类公理) \(\forall A\exists B\forall x(x\in B\leftrightarrow x\in A\wedge P(x))\)。
即设A是一个集合，\(P(x)\)是\(A\)中元素的一个性质，则存在集合\(\{x\in A\colon P(x)\}\)为所有\(A\)中具有性质\(P\)的元素。
分类公理即对概括公理的弱化，假如集合真的存在（注意，目前我们还不能断定真的存在集合），我们已经能构造出空集了。
Proposition 2.2.1 若存在一个集合，则唯一存在没有任何元素的集合。
- Proof 假设存在一个集合\(A\)，令\(P(x)\)为\(x\neq x\)，则由分类公理即可得存在性，再有外延公理可得唯一性。\(\Box\)
外延公理已经定义了集合的相等，回想下\(\S1.3\)中关于相等的替换公理，我们来验证下替换公理适用于分类。
- Proof 假设替换公理不适应，即存在\(A=A'\)，有\(\{x\in A\colon P(x)\}\neq\{x\in A'\colon P(x)\}\)。记两个集合分别为\(B,B'\)，不妨设\(B\)中存在元素\(x\)，有\(x\notin B'\)。
由\(x\in B\)可知\(x\in A\)。又由外延公理，\(x\in A'\)。假设\(P(x)\)为真，则\(x\in B'\)，否则有\(x \notin B'\)，均与上述矛盾，从而替换公理适用于分类。\(\Box\)
现在集合还很匮乏，为了构造更多可用的集合，配对“公理”被引入了。
Axiom 2.2.3(配对"公理") \(\forall A\forall B\exists C\forall x(x\in C\leftrightarrow x=a\vee x=b)\)。
即对对象\(A,B\)，存在集合\(C=\{A,B\}\)。
Axiom 2.2.4(并集公理) \(\forall A\exists B\forall x(x\in B\leftrightarrow\exists y(x\in y\wedge y\in A))\)。
即对\(A\)，存在一个集合\(B\)，\(A\)中元素的元素都在\(B\)中且\(B\)中元素都在\(A\)的元素中，并引入记号\(B=\bigcup A\)。
集合的交也可被类似定义。
Definition 2.2.1 设集合\(A,B\)满足\(A\)的任意元素\(\alpha\)都与\(B\)的一个子集对应，则记该子集为\(B_\alpha\)，用\(\{B_\alpha\}\)表示以\(B_\alpha\)为元素的集合，称为一族集。所有对应的子集的并可记作\(\bigcup_{\alpha\in A}B_\alpha\)。
虽然现在还没有定义函数，但可以暂用一下以前的知识。为了考察定义域为\(X\)，值域为\(Y\)的所有函数，我们需要考虑\(X\)的所有子集和\(Y\)的所有子集，因此引入了幂集公理。
Axiom 2.2.5(幂集公理) \(\forall A\exists B\forall x(x\in B\leftrightarrow x\subseteq A)\)。
即对集合\(A\)，存在集合\(B\)，其元素是\(A\)的所有子集，我们将\(B\)记作\(2^A\)。
注意，上述所有的定理都是在假设有集合存在的情况下，目前我们还不能保证确实存在有集合。先引入两个定义：
Definition 2.2.2 对任意集合\(A\)，\(A^+\coloneqq A\cup\{A\}\)称为\(A\)的后继集。
Definition 2.2.3 \(Inf(x)\leftrightarrow\emptyset\in x\wedge\forall u(u\in x\to u^+\in x)\)，将性质\(Inf\)为真的集合称为归纳集。
对于一个集合，可以进行的一个最基本的操作是取出集合中的每一个元素，按某种方式将每个元素都转换成一个新对象，并最好能将新的对象都放在一个集合里。为此，引入替代公理。
接下来引入无穷公理来说明集合存在。
Axiom 2.2.6(无穷公理) \(\exists A(\exists \emptyset(\emptyset\in A)\wedge\forall x(x\in A\to x^+\in A))\)。
即空集是存在的，且存在归纳集\(A\)，包括某个存在的集合和任何其中的集合的后继集。
※ 无穷公理先说明空集存在，再说明无穷集存在。
这时已经确保了有集合存在，因此空集也被唯一确定了，记其为\(\emptyset\)，把这个结论称为空集定理。
Theorem 2.2.1(空集定理) \(\exists! \emptyset\forall x(x\notin\emptyset)\)。
Axiom 2.2.7(替代公理) \(\forall A(\forall x\in A( \forall y_1\forall y_2(P(x,y_1)\wedge P(x,y_2)\to y_1=y_2)))\to\exists B\forall y(y\in B\leftrightarrow\exists x(x\in A\wedge P(x,y)))\)。
将替代公理用自然语言表达不会这么繁琐：
设\(A\)是一个集合，对任意\(x\in A\)和任意一个对象\(y\)，假设存在一个关于\(x,y\)的命题 \(P(x,y)\)使得对任意\(x\in A\)，至多有一个\(y\)使得\(P(x,y)\)为真，则存在一个集合\(\{y\colon P(x,y)\)对某个\(x\in A\)为真\(\}\)。
事实上，若我们将“存在唯一的没有任何元素的集合”当作一条公理，则我们可以证明替代公理蕴含分类公理。
Theorem 2.2.2 若承认空集公理，则空集公理和替代公理蕴含分类公理。
- Proof 设\(A\)是一个集合，\(P(x)\)是\(A\)中元素的一个性质。
\(1)\) 若\(A\)中存在一个元素使得\(P(x)\)为真，任意取定一个\(A\)中使得\(P(x)\)为真的元素\(x_0\)，\(x,y\)都是\(A\)中元素，令\(\phi(x,y)\)定义如下：若\(P(x)\)为假，则只有\(y=x_0\)时\(\phi(x,y)\)为真；若\(P(x)\)为真，则只有\(y=x\)时\(\phi(x,y)\)为真。
显然\(\phi\)满足替代公理中的条件，而替代公理对两个相等的集合也成立，因此存在集合\(\{y\colon \phi(x,y)\)对某个\(x\in A\)为真\(\}=\{x\in A\colon P(x)\)为真\(\}\)。
（题外话：我看见很多证明由此就说明了替代公理蕴含分类公理，但事实上从我\(1)\)中证明的第一句话的表述就能看出，这没有考虑空集的情况。）
\(2)\) 若\(A\)中不存在元素使得\(P(x)\)为真，则由空集公理，\(\emptyset\)即是符合条件的集合。 \(\Box\)
另外前文谈及配对“公理”时我对公理二字一直加了引号，因为由替代公理可以轻易推出它。
Theorem 2.2.3 替代公理可以推出配对公理。
- Proof 对任意对象\(A,B\)，由上述定理，\(\emptyset,\emptyset\cup\{\emptyset\}\)是两个集合，不妨记为\(0,1\)。取\(C=\{0,1\}\)，定义\(P(x,y)\)是\(C\)的一个命题，只有\(P(0,A),P(1,B)\)为真。则对\(C\)使用替代公理，即可得存在集合\(D=\{A,B\}\)。\(\Box\)
Axiom 2.2.8(正则公理) \(\forall A(A\neq\emptyset\to\exists(x\in A\wedge\neg\exists y(y\in x\wedge y\in A)))\)。
即若\(A\)是一个非空集合，则\(A\)中至少存在一个元素\(x\)满足\(x\)不是集合或\(x\)与\(A\)不相交。
这个公理主要是使得集合成为良基集合，不多做讨论。
上述的公理构成了ZF集合论系统，而ZFC中的C指得是选择公理。
Axiom 2.2.9(选择公理) \(\forall A(\emptyset\notin A\to\exists C\forall B(B\in A\to\exists !x(x\in B\cap C)))\)。
上述所有公理构成了ZFC集合论系统。
三、函数
为了定义函数，需要先引入Cartesian积。
\(\S3.1\) Cartesian积
Definition 3.1.1 对任意的对象\(x,y\)，称\((x,y)\coloneqq \{\{x\},\{x,y\}\}\)为有序对。
由配对公理，有序对的存在性已经明确了。不用在意这里有序对为什么定义的这么反常，这只是一个“脚手架”。
Definition 3.1.2 对集合\(X,Y\)，\(X\times Y\coloneqq \{(x,y)\colon x\in X\wedge y\in Y\}\)称为\(X,Y\)的Cartesian积。
注意，我们还不能确定这是一个集合。
Theorem 3.1.1 Cartesian积是一个集合。
- Proof 任取\(x_0\in X\)，对任意\(y\in Y\)和有序对，令命题\(P(y,(x_0,y'))\)为真当且仅当\(y=y'\)，显然\(P\)满足替代公理的条件，从而有集合\(A_{x_0}=\{(x_0,y)\colon y\in Y\}\)。由并集公理，\(B=\bigcup_{x\in X}A_x\)是一个集合。
易验证\(B=X\times Y\)。 \(\Box\)
由归纳法易得，\(n\)元Cartesian积也是集合。
\(\S3.2\) 函数(映射)
Definition 3.2.1 设\(A,B\)为集合，称集合\(R\)为从\(A\)到\(B\)的二元关系，当且仅当\(R\subseteq A\times B\)。若\((a,b)\in R\)，则记为\(aRb\)。
Definition 3.2.2 对集合\(X,Y\)，若\(X\)到\(Y\)的二元关系\(f\)满足\(\forall x\in X\exists !y\in Y((x,y)\in f)\)，则称\(f\)为函数，记作\(f\colon X\to Y\)。\(f(x)\coloneqq y\iff(x,y)\in f\)。\(X\)称为\(f\)的定义域，\(Y\)称为\(f\)的陪域，\(\text{Im}f\coloneqq \{y\in Y\colon \exists x\in X(y=f(x))\}\)称为\(f\)的值域。
Definition 3.2.3 两个具有相同定义域的函数\(f\colon X\to Y,g\colon X\to Y\)相等，当且仅当\(\forall x\in X,f(x)=g(x)\)，记作\(f=g\)。
Definition 3.2.4 令\(f\colon X\to Y,g\colon Y\to Z\)，则定义\(g,f\)的复合\(g\circ f\colon X\to Z\)为一个函数，满足\((g\circ f)(x)=g(f(x))\)。
Definition 3.2.5 对函数\(f\colon X\to Y\)，若满足\(f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'\)则称\(f\)是单射；若满足\(\text{Im}f=Y\)则称\(f\)是满射；若\(f\)既是单射又是满射则称\(f\)是双射。
Definition 3.2.6 若函数\(f\colon X\to Y\)是双射，则\(\forall y\in Y\)，恰好存在一个\(x\)使得\(f(x)=y\)，记作\(x=f^{-1}(y)\)，则\(f^{-1}\)是一个从\(Y\)到\(X\)的函数，称为\(f\)的逆。
Definition 3.2.7 设函数\(f\colon X\to Y\)，若\(S\)是\(X\)的一个子集，则\(f(S)\coloneqq \{f(x)\colon x\in S\}\)称为\(S\)在\(f\)下的象；若\(T\)是\(Y\)的一个子集，则\(f^{-1}(T)\coloneqq \{x\in X\colon f(x)\in T\}\)称为\(T\)的逆象。
Definition 3.3.3 设集合\(A\)到自身的一个二元关系\(R\)满足：
(a) 自反性：\(\forall a\in A(aRa)\)；
(b) 传递性：\(\forall a,b,c\in A(aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc)\)；
(c) 对称性：\(\forall a,b\in A(aRb\Rightarrow bRa)\)，
则称该关系是\(A\)上的一个等价关系，通常记作\(\sim\)。
\(\S3.3\) 集合的基数与序
目前还没有定义自然数，但暂且引用下这个概念来引入集合的基数。
Definition 3.3.1 称集合\(A,B\)等势，当且仅当存在从\(A\)到\(B\)的一个双射。
Remark 易证等势是一个等价关系。
Definition 3.3.2 集合\(A\)所在的等势等价类称为\(A\)的基数，记作\(|A|\)；\(A,B\)等势记作\(|A|=|B|\)。
Definition 3.3.3 设集合\(A\)到自身的一个二元关系\(R\)满足：
(a) 自反性：\(\forall a\in A(aRa)\)；
(b) 传递性：\(\forall a,b,c\in A(aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc)\)；
(c) 反称性：\(\forall a,b\in A(aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b)\)，
则称\(A\)为一个偏序集，\(R\)为\(A\)上的一个偏序关系，常记\(R\)为\(\leq\)，若\(a\leq b\)且\(a\neq b\)，则可记为\(a<b\)。
若该二元关系还满足
(d) 完全性：\(\forall a,b\in A(aRb\vee bRa)\)，
则称\(A\)为一个全序集，\(R\)为\(A\)上的一个全序关系。
若还满足
(e) 最小元：\(\forall M\subset A(\exists a\in M\forall b\in M(a\leq b)\vee M=\emptyset)\)，
则称\(A\)为一个良序集，\(R\)为\(A\)上的一个良序关系。
Definition 3.3.4 设\(A\)是一个偏序集，\(B\subset A\)。若\(x\in B\)且\(\nexists y\in B,y<x\)，则称\(x\)为\(B\)的最小元。若\(x\in B\)且\(\nexists y\in B,x<y\)，则称\(x\)为\(B\)的最大元。
Definition 3.3.5 设\(A\)是一个偏序集，\(B\subset A\)。若\(\exists x\in A\forall y\in B(y\leq x)\)，则称\(x\)为\(B\)的一个上界。
Definition 3.3.6 设\(A\)是一个偏序集，\(B\subset A\)且\(B\)有上界。若\(\exists x\in A\)满足：
(a) \(x\)是\(B\)的上界；
(b) 若\(y<x\)，则\(y\)不是\(B\)的上界，
则称\(x\)是\(B\)的上确界，记作\(x=\sup B\)。
类似地，可以定义下界与下确界，记作\(\inf\)。
Definition 3.3.7 若偏序集\(A\)满足\(\forall B\subset A\)，\(B\neq\emptyset\)且\(B\)有上界，则\(\sup B\in A\)，就称\(A\)有最小上界性。
类似地，可以定义最大下界性，而最小上界性与最大下界性之间的紧密联系可以从下述定理看出。
Theorem 3.3.1 设\(A\)是具有最小上界性的偏序集，\(B\subset A\)，\(B\neq\emptyset\)且\(B\)有下界，令\(L\)是\(B\)的所有下界的集合，则\(\inf B=\sup L\)存在。
- Proof 因\(B\)有下界，则\(L\)非空。
任取\(x\in B\)，显然\(x\)是\(L\)的上界，由\(A\)的最小上界性，不妨设\(x=\sup L\)，有\(x\in L\)，因此\(x\)是\(B\)的下界。
任取\(y\in A\)且\(y>x\)，由上确界的定义，\(y\notin L\)，则\(y\)不是\(B\)的下界，因此\(x=\inf B\)。 \(\Box\)
Remark 由该定理，只要一个偏序集有最小上界性，就一定有最大下界性，因此不用对两者重复讨论。
Definition 3.3.8 偏序集\(A\)上的偏序关系\(\leq\)若满足完全性：\(\forall a,b\in A(a\leq b\vee b\leq a)\)，则称其为全序关系，称\(A\)为全序集。
Definition 3.3.9 全序集\(A\)上的全序关系\(\leq\)若满足\(A\)的任意一个非空子集都有最小元，则称其为良序关系，称\(A\)为良序集。
Definition 3.3.10 定义基数的序关系\(\forall A,B(|A|\leq|B|\iff\exists C\subset B(|A|=|C|))\)。
Theorem 3.3.2 基数的序关系是良定义的。
- Proof 若\(A\leq B\)且\(A=C\)，则存在一个\(C\)到\(A\)的双射\(f\)以及存在\(B\)的一个子集\(D\)，且存在\(A\)到\(D\)的一个双射\(g\)。考虑\(g\circ f\)，显然这是\(C\)到\(D\)的一个双射，因此\(C\leq B\)。同理易证关于\(B\)也有类似结论。 \(\Box\)
该二元关系的自反与传递是显然的，接着考虑其是否有反称性和完全性，先引入如下两个引理：
Lemma 3.3.1(Cantor-Bernstein-Schroeder 定理) 若存在\(A\)到\(B\)的单射和\(B\)到\(A\)的单射，则存在\(A\)到\(B\)的双射。
Lemma 3.3.2(Zorn引理) 若偏序集\(A\)的任意全序子集都有上界，则\(A\)有最大元。
由Lemma 3.3.1，基数的序关系是偏序关系，再考虑其是否有完全性：
Theorem 3.3.3 基数的序关系是全序关系。
- Proof 对任意集合\(A,B\)，假设不存在\(A\)到\(B\)的单射，考虑由所有\(B\)的子集到\(A\)的单射构成的集合\(\Omega\)
\(\subset\)是\(\Omega\)上的偏序关系，任取\(\Omega\)的一个全序子集\(C\)，令\(F=\bigcup_{f\in C}f\)，则
\[ \forall (x,y)\neq(x_0,y_0)\in F,\exists f,f'\in C,(x,y)\in f,(x',y')\in f'. \] 不妨设\(f\leq f'\)，则\((x,y),(x_0,y_0)\in f'\)，从而\(x\neq x_0,y\neq y_0\)，即\(F\)是\(B\)的子集到\(A\)的单射，即\(F\in\Omega\)。从而\(C\)有上界。由Zorn引理，\(\Omega\)有最大元\(\phi\)。假设\(\phi\)的定义域不为\(B\)且值域不为\(A\)，则\(\exists (x,y)\notin\phi\)，且\(\phi'=\phi\cup\{(x,y)\}\)是单射，则有\(\phi'\in\Omega,\phi<\phi'\)，这与\(\phi\)是最大元矛盾。
从而必存在一个单射，其值域为\(A\)或定义域为\(B\)。若值域为\(A\)，则\(\phi^{-1}\)是\(A\)到\(B\)的单射，与题意矛盾，因此\(\phi\)是\(B\)到\(A\)的单射，由此可得完全性。 \(\Box\)
最后，我们考虑集合的基数是否存在上界。
Theorem 3.3.4(Cantor定理) 对任意集合\(X\)，\(|X|<|2^X|\)。
- Proof \(|X|\leq|2^X|\)是显然的。假设\(|X|=|2^X|\)，则存在双射\(\phi\colon X\to 2^X\)。取\(Y=\{x\in X\colon x\notin\phi(x)\}\)及\(y=\phi^{-1}(Y)\)。由\(Y\)定义可知\(y\notin Y\)，即\(y\notin\phi(Y)\)，但这又使得\(y\in Y\)，因此产生矛盾，从而\(|X|<|2^X|\)。 \(\Box\)