分析学笔记(6)级数

本篇若无特殊说明，默认序列(数列)和级数是\(\mathbb{C}\)上的。

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一、级数基本内容

\(\S1.1\) 级数及其收敛性

Definition 1.1.1 设\(\{a_n\}\)是一个序列，称\(\sum\limits_{k=1}^n a_k\)为\(\{a_n\}\)的一个部分和，定义级数\(\sum\limits_{k=1}^\infty a_n\coloneqq \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^na_n\)，简记作\(\sum a_n\)。若\(\{\sum\limits_{k=1}^n a_n\}\)收敛，则称级数\(\sum a_n\)收敛，否则称\(\sum a_n\)发散。

由Cauchy收敛准则和级数的定义易得级数收敛的Cauchy准则。

Theorem 1.1.1(级数收敛的Cauchy准则) 级数\(\sum a_n\)收敛当且仅当\(\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall m>n>N,|\sum\limits_{i=n}^m a_i|<\varepsilon\)。

Remark 取\(m=n\)即可得，若\(\sum a_n\)收敛，则\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)。

Theorem 1.1.2(比较判别法) 若\(\sum b_n\)收敛且\(\exists N,\forall n>N,|a_n|\leq b_n\)则\(\sum a_n\)收敛。

• Proof 由\(\sum b_n\)收敛得，\(\exists N_0>N,\forall m>n>N_0,\sum\limits_{i=n}^m b_i<\varepsilon\)，即\(|\sum\limits_{i=n}^m a_i|\leq\sum\limits_{i=n}^m|a_i|\leq\sum\limits_{i=n}^m b_i<\varepsilon\)，从而\(\sum a_n\)收敛。 \(\Box\)

Theorem 1.1.3 若\(\sum a_n,\sum b_n\)收敛，则\((c\sum a_n+d\sum b_n)\)收敛。

• Proof 这里只给出\(c,d\neq0\)时。由\(\sum a_n,\sum b_n\)收敛得 \[ \forall\varepsilon>0,\exists N,\forall m>n>N,|\sum\limits_{i=n}^m a_i|<\frac{\varepsilon}{2c},|\sum\limits_{i=n}^m b_i|<\frac{\varepsilon}{2d}, \] 从而\(|\sum\limits_{i=n}^m(ca_i+db_i)|\leq c|\sum\limits_{i=n}^m a_i|+d|\sum\limits_{i=n}^m b_i|<\varepsilon\)，即\((c\sum a_n+d\sum b_n)\)收敛。 \(\Box\)

Example 1.1.1(几何级数) 设\(a\)是非零实数，\(a_n=ax^{n-1}(x\in\mathbb{R})\)，则称\(\sum a_n\)为几何级数，由定义易知 \[ \sum a_n=\begin{cases} \lim\limits_{n\to\infty}na,&x=1,\\ \lim\limits_{n\to\infty}a\frac{1-x^n}{1-x},&x\neq1. \end{cases} \] 易见\(|x|<1\)时收敛，\(|x|\geq1\)时发散。

Theorem 1.1.3(Cauchy根式判别法) 设\(\sum a_n\)是一个级数，\(a=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\)，若\(a>1\)则\(\sum a_n\)收敛；若\(a<1\)则\(\sum a_n\)发散。

• Proof \(\alpha<1\)时，取\(\beta=\frac{\alpha+1}{2}\)，有\(\alpha<\beta<1\)，则\(\exists N,\forall n>N,\sqrt[n]{|a_n|}<\beta\)。即\(|a_n|<\beta^n\)，由几何级数的结论可知\(\sum a_n\)收敛。
  \(\alpha>1\)时，存在一个子列\(\{a_{n_k}\}\)满足\(\exists N,\forall k>N,|a_{n_k}|>1\)，从而\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0\)，即\(\sum a_n\)发散。 \(\Box\)

Theorem 1.1.4(d'Alembert比率判别法) 设\(\sum a_n\)是一个级数且\(a_n\neq0\)，若\(\limsup\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1} }{a_n}|<1\)则\(\sum a_n\)收敛；若\(\liminf\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1} }{a_n}|>1\)则\(\sum a_n\)发散。

• Proof \(\limsup\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1} }{a_n}|<1\)时，取\(\beta=(\limsup\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1} }{a_n}|+1)/2\)，则\(\exists N,\forall n\geq N,|\frac{a_{n+1} }{a_n}|<\beta\)，即\(n\geq N\)时，\(|a_n|<|a_{N}|\beta^{n-N}\)，由几何级数易见收敛性。
  \(\liminf\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1} }{a_n}|>1\)时，\(\exists N,\forall n>N,|a_{n+1}|\geq|a_n|\geq|a_{N+1}|\)，从而\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0\)，即\(\sum a_n\)发散。 \(\Box\)

事实上，我们可以证明Cauchy判别法强于d'Alembert判别法。

Theorem 1.1.5 设\(\{a_n\}\)是一个数列且\(a_n\neq0\)，则\(\liminf\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1} }{a_n}|\leq\liminf\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\leq\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\leq\limsup\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1} }{a_n}|\)。

• Proof 这里只给出\(\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\leq\limsup\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1} }{a_n}|\)的证明。
  令\(\alpha=\limsup\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1} }{a_n}|\)，\(\alpha=+\infty\)时显然成立，否则 \[ \forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,|\frac{a_{n+1} }{a_n}|<\alpha+\varepsilon, \] 即\(|a_n|<\frac{a_N}{(\alpha+\varepsilon)^N}(\alpha+\varepsilon)^n\)，从而有\(\forall n>N,\sqrt[n]{|a_n|}<\sqrt[n]{\frac{a_N}{(\alpha+\varepsilon)^N} }(\alpha+\varepsilon)\)，即\(\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\leq\alpha+\varepsilon\)，从而\(\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\leq\alpha\)。 \(\Box\)

Example 1.1.1 令数列\(\{a_n\}\)为\(\forall n\in\mathbb{N}^+,a_{2n-1}\coloneqq\frac{1}{2^n},a_{2_n}\coloneqq\frac{1}{3^n}\)，则Cauchy根式判别法可以判断\(\sum a_n\)的收敛性而d'Alembert比率判别法不能。

\(\S1.2\) 非负项级数

Definition 1.2.1 设\(\sum a_n\)是一个实级数，若\(\forall n,a_n\geq0\)，则称\(\sum a_n\)为非负项级数。

Theorem 1.2.1 非负项级数收敛当且仅当其部分和序列有上界。

• Proof 设\(\sum a_n\)是一个非负项级数，\(\{S_n\}\)是其部分和序列，易见\(\{S_n\}\)递增，由单调有界原理，\(\sum a_n\)收敛当且仅当\(\{S_n\}\)有上界。 \(\Box\)

Theorem 1.2.2(Cauchy凝聚判别法) 设\(\{a_n\}\)是一个递减的非负项序列，则\(\sum a_n\)收敛当且仅当\(\sum\limits_{k=1}^\infty 2^k a_{2^k}\)收敛。

• Proof 设\(S_n=\sum\limits_{i=1}^n a_i,T_k=\sum\limits_{i=1}^k2^ia_{2^i}\)。
  \(n\leq2^k\)时，\(S_n\leq a_1+(a_2+a_3)+\dots+(a_{2^k}+\dots+a_{2^{k+1}-1})\leq T_k\)。
  \(n>2^k\)时， \[ T_k=a_1+2a_2+4a_4+\dots+2^ka_{2^k}\leq a_1+2a_2+2(a_3+a_4)+\dots+2(a_{2^{k-1}+1}+\dots+a_{2^k})<2S_n, \] 从而\(\{S_n\}\)和\(\{T_n\}\)有界性相同，由Theorem 1.2.1，即\(\sum a_n\)和\(\sum\limits_{k=1}^\infty 2^k a_{2^k}\)敛散性相同。 \(\Box\)

Remark Cauchy凝聚判别法由一个非常“稀”的子列判断了级数的收敛性。

Theorem 1.2.3 级数\(\sum\frac{1}{n^p}\)在\(p>1\)时收敛，\(p\leq 1\)时发散。

• Proof 令\(a_n=\frac{1}{n^p}\)，由Cauchy凝聚判别法，\(2^ka_{2^k}=(2^{1-p})^k\)，由几何级数的结论，\(\sum a_n\)收敛当且仅当\(2^{1-p}<1\)即\(p>1\)。\(\Box\)

上述定理也蕴含了调和级数发散，这与\(\sum \frac{1}{n^2}\)收敛可以一同作为Cauchy根式判别法和d'Alembert比率判别法在“等于1”时无法提供任何信息的例子。接着我们给出\(e\)的定义。

Theorem 1.2.4(比较判别法的极限形式) 设\(\sum a_n,\sum b_n\)是各项均非零的非负项级数，且\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\alpha\in(0,+\infty)\)，则\(\sum a_n\)收敛当且仅当\(\sum b_n\)收敛。

• Proof 由\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\alpha\in(0,+\infty)\)，\(\exists N,\forall n>N,|\frac{a_n}{b_n}-\alpha|<\frac{\alpha}{2}\)，即\(\frac{\alpha}{2}b_n<a_n<\frac{3\alpha}{2}b_n\)，从而它们的部分和序列有界性相同，即\(\sum a_n\)收敛当且仅当\(\sum b_n\)收敛。 \(\Box\)

Definition 1.2.2 定义自然对数\({\rm e}\coloneqq\sum\frac{1}{n!}\)。

为了说明这个定义是明确的，我们来证明这个级数收敛。

Theorem 1.2.5 \(\sum\frac{1}{n!}\)收敛。

• Proof 令\(S_n=\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k!}\)，有\(S_n<1+1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{2^{n-1} }<3\)，从而\(\{S_n\}\)有界，即\(\sum\frac{1}{n!}\)收敛。 \(\Box\)

Remark 事实上，我们可以证明\(\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n={\rm e}\)，因此两个式子都可以用来定义\({\rm e}\)，证明过程这里不再赘述。

接着我们引入Abel分部求和法。

Theorem 1.2.6(Abel分部求和法) 设有两个序列\(\{a_n\},\{b_n\}\)，令\(A_n\)为\(\{a_n\}\)的部分和序列，则\(\sum\limits_{k=1}^na_nb_n=A_nb_n-\sum\limits_{k=1}^{n-1}A_k(b_{k+1}-b_{k})\)。

• Proof \[ \begin{align*} A_nb_n-\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_{k+1}-b_{k})&=b_n\sum\limits_{k=1}^n a_n-\sum_{p=1}^{n-1}\sum_{q=1}^pa_q(b_{p+1}-b_p)\\ &=b_n\sum\limits_{k=1}^n a_n-\sum_{p=2}^{n}b_p\sum_{q=1}^{p-1}a_q+\sum_{p=1}^{n-1}b_p\sum_{q=1}^pa_q\\ &=b_n\sum\limits_{k=1}^n a_n-\sum_{p=2}^{n}b_p\sum_{q=1}^{p-1}a_q+\sum_{p=2}^{n-1}b_p\sum_{q=1}^pa_q+a_1b_1\\ &=b_n\sum\limits_{k=1}^n a_n-\sum_{p=2}^{n}b_p\sum_{q=1}^{p-1}a_q+\sum_{p=2}^{n-1}b_p\sum_{q=1}^{p-1}a_q+\sum_{k=1}^{n-1}a_kb_k\\ &=b_n\sum\limits_{k=1}^n a_n-b_n\sum_{k=1}^{n-1}a_k+\sum_{k=1}^{n-1}a_kb_k\\ &=\sum_{k=1}^na_nb_n.\ \Box \end{align*} \]

由Abel分部求和法，可以得到Abel引理。

Lemma 1.2.1(Abel引理) 若两个序列\(\{a_n\},\{b_n\}\)满足(a)\(\{b_n\}\)单调；(b)\(\{a_n\}\)部分和序列\(\{A_n\}\)有界，设\(|A_n|<M,\forall n\in\mathbb{N^+}\)及\(B=\max\{|b_n|\}\)，则\(|\sum\limits_{k=1}^n a_kb_k|< 3MB\)。

Proof 由Abel分部求和法， \[ \begin{align*} |\sum\limits_{k=1}^na_nb_n|=|A_nb_n-\sum\limits_{k=1}^{n-1}A_k(b_{k+1}-b_{k})|&\leq|A_n||b_n|+|\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_{k+1}-b_k)|\\ &<MB+|\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_{k+1}-b_k)|. \end{align*} \] 又由\(\{b_n\}\)单调得\(\forall n\in\mathbb{N^+},b_{n+1}-b_n\)同号，则 \[ |\sum\limits_{k=1}^{n-1}A_k(b_{k+1}-b_k)|\leq M|\sum\limits_{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)|\leq M|b_1-b_n|\leq2MB, \] 即\(|\sum\limits_{k=1}^n a_kb_k|< 3MB\)。 \(\Box\)

Theorem 1.2.7(Abel判别法) 若两个序列\(\{a_n\},\{b_n\}\)满足(a)\(\sum a_n\)的部分和序列\(\{A_n\}\)有界；(b)\(\{b_n\}\)单调递减且趋向于0，则\(\sum a_nb_n\)收敛。

• Proof 设\(\forall n\in\mathbb{N^+},|A_n|<M\)，我们有\(\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n\geq N,b_n<\frac{\varepsilon}{3M}\)。由Abel引理，\(\forall m>n>N\)，我们有\(|\sum\limits_{k=n}^m a_nb_n|<3M\frac{\varepsilon}{3M}=\varepsilon\)，从而\(\sum a_nb_n\)收敛。 \(\Box\)

由Abel判别法，我们可以很容易证明Leibnitz交错级数判别法。

Theorem 1.2.8(Leibnitz交错级数判别法) 若实序列\(\{c_n\}\)满足(a)\(\{|c_n|\}\)递减；(b)\(c_{2m-1}\geq0,c_{2m}\leq0,\forall m\in\mathbb{N^+}\)；(c)\(\lim\limits_{n\to\infty}c_n=0\)，则\(\sum c_n\)收敛。

Proof 令\(a_n=(-1)^{n+1},b_n=|c_n|\)，则有\(a_nb_n=c_n\)，由Abel判别法，\(\sum a_nb_n\)收敛即\(\sum c_n\)收敛。 \(\Box\)

二、绝对收敛

\(\S2.1\) 绝对收敛

Definition 2.1.1 若级数\(\sum|a_n|\)收敛，则称\(\sum a_n\)绝对收敛。

由不等式\(|\sum\limits_{k=n}^m a_k|\leq\sum\limits_{k=n}^m|a_k|\)易得如下定理。

Theorem 2.1.1 若\(\sum a_n\)绝对收敛，则\(\sum a_n\)收敛。

Remark 显而易见，非负项级数的收敛和绝对收敛是等价的，前文提到的非负项级数的收敛判别法可以用在判断绝对收敛上。

Definition 2.1.2 若一个级数收敛但不绝对收敛，则称其为条件收敛。

接着，我们引入级数的重排。

Definition 2.1.3 设\(\sigma\colon \mathbb{N^+}\to\mathbb{N^+}\)是正整数集到正整数集的一个双射，\(\sum a_n\)是一个级数，则称\(\sum a_{\sigma(n)}\)是\(\sum a_n\)的一个重排。

Theorem 2.1.2 设\(\sum a_n\)绝对收敛，则\(\sum a_n\)的所有重排都收敛到同一个极限。

• Proof 设\(\sum a_{\sigma(n)}\)是\(\sum a_n\)的一个重排，由\(\sum a_n\)绝对收敛得\(\forall\varepsilon>0,\exists N,\sum\limits_{n=N}^\infty|a_n|<\varepsilon\)，取\(m=\max\{\sigma^{-1}(n)\colon n=1,\dots,N\}\)（很显然这是个有限集，且必然有\(m\geq N\)），则\(\forall n>m,|\sum\limits_{k=1}^na_n-\sum\limits_{k=1}^na_{\sigma(n)}|\leq|\sum\limits_{n=N}^\infty|a_n|<\varepsilon\)，即\(\lim\limits_{n\to\infty}[\sum\limits_{k=1}^na_n-a_{\sigma(n)}]=0\)，得\(\sum a_n=\sum a_{\sigma(n)}\)。 \(\Box\)

由此可以看出，绝对收敛的级数不受重排的影响。

Theorem 2.1.3(Riemann重排定理) 设\(\sum a_n\)是一个条件收敛的实级数，对任意\(-\infty\leq\alpha\leq\beta\leq+\infty\)，都存在\(\sum a_n\)的一个重排\(\sum b_n\)，使得\(\liminf\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n b_k=\alpha,\limsup\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n b_k=\beta\)。

• Proof 令\(a_n^+\coloneqq \frac{|a_n|+a_n}{2},a_n^-\coloneqq\frac{|a_n|-a_n}{2}\)，假设\(\sum a_n^+\)收敛，若\(\sum a_n^-\)收敛，由\(|a_n|=a_n^++a_n^-\)得\(\sum |a_n|\)收敛，这与\(\sum a_n\)条件收敛矛盾，因此\(\sum a_n^-\)发散。又由\(a_n=a_n^+-a_n^-\)，得\(\sum a_n\)发散，这与条件矛盾，因此\(\sum a_n^+\)发散，同理可得\(\sum a_n^-\)也发散。
  令 \[ A^+\coloneqq\{n\in\mathbb{N}^+|a_n\geq0\},A^-\coloneqq\{n\in\mathbb{N}^+|a_n<0\}, \] 易见\(A^+\cup A^-=\mathbb{N}^+\)且\(A^+\cap A^-=\emptyset\)。再构造 \[ A^\oplus\coloneqq\{n\in\mathbb{N}^+|a_n^+>0\},A^\ominus\coloneqq\{n\in\mathbb{N}^+|a_n^->0\}, \] 不难发现\(A^\oplus\subset A^+,A^\ominus\subset A^-\)，\(\{a_n^+\}\)和\(\{a_n^-\}\)剩余的项均为\(0\)。又由\(\sum a_n^+\)和\(\sum a_n^-\)均发散可知，\(A^\oplus\)和\(A^\ominus\)均为无限集，即\(A^+\)和\(A^-\)均为无限集。借助最小自然数原理，容易构造出递增的双射\(f^+\colon \mathbb{N^+}\to A^+\)和\(f^-\colon \mathbb{N^+}\to A^\ominus\)，易知\(\sum a^+_{f^+(n)}\)和\(\sum a^-_{f^-(n)}\)发散，且两个级数均为非负项级数。
  任取两个序列\(\{\alpha_n\},\{\beta_n\}\)满足\(\lim\limits_{n\to\infty}\alpha_n=\alpha,\lim\limits_{n\to\infty}\beta_n=\beta\)，由上述结论，设\(p_0=q_0=0\)，\(\forall k\in\mathbb{N}\)，令 \[ p_{k+1}\coloneqq\min\{n\in\mathbb{N}^+|n>p_k\wedge\sum\limits_{m=1}^n a^+_{f^+(m)}-\sum\limits_{m=1}^{q_k}a^-_{f^-(m)}>\beta_{k+1}\},q_{k+1}\coloneqq\min\{n\in\mathbb{N}^+|n>q_k\wedge\sum\limits_{m=1}^{p_{k+1} } a^+_{f^+(m)}-\sum\limits_{m=1}^{n}a^-_{f^-(m)}<\alpha_{k+1}\} \] 由\(\sum a^+_{f^+(n)}\)和\(\sum a^-_{f^-(n)}\)发散且均为非负项级数可知两个集合均非空，则由最小自然数原理，这个构造是合理的。易见 \[ a_{f^+(1)}+\dots+a_{f^+(p_1)}+a_{f^-(1)}+\dots-a_{f^-(q_1)}+\dots+a_{f^+(p_k+1)}+\dots+a_{f^+(p_{k+1})}+a_{f^-(q_k+1)}+\dots-a_{f^-{q_{k+1} }}+\dots \] 是\(\sum a_n\)的一个重排，记为\(\sum b_n\)。又由\(\{a_{f^+(n)}\},\{a_{f^-(n)}\}\)均为\(\{a_n\}\)的子列，则它们的极限均为0。
  \(\forall n\in\mathbb{N^+}\),设 \[ x_n\coloneqq\sum\limits_{m=1}^{p_n} a^+_{f^+(m)}-\sum\limits_{m=1}^{q_{n-1} }a^-_{f^-(m)},y_n\coloneqq\sum\limits_{m=1}^{p_n} a^+_{f^+(m)}-\sum\limits_{m=1}^{q_{n} }a^-_{f^-(m)}, \] 且\(\{x_n\},\{y_n\}\)是上述重排的两个部分和序列。
  由上述定义易知 \[ \forall n\in\mathbb{N^+},0<x_n-\beta_n\leq a^+_{f^+(p_n)},0<\alpha_n-y_n\leq a^-_{f^-(q_n)}. \] 又由\(n\to\infty\)时，两不等式最右边都趋向于0，得\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\beta,\lim\limits_{n\to\infty}y_n=\alpha\)。从而\(\{b_n\}\)的部分和序列有两子列分别收敛到\(\alpha\)和\(\beta\)。若\(\beta=+\infty\)，则显然\(\limsup\limits_{n\to\infty}b_n=\lim\limits_{n\to\infty}y_n=+\infty\)，否则\(\forall\beta'>\beta\)，由上述不等式易见\(\{n\in\mathbb{N^+}\colon x_n>\beta'\}\)是有限集，则不难得出\(\{n\in\mathbb{N^+}\colon \sum\limits_{k=1}^n b_n>\beta'\}\)也是有限集，即\(\limsup\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n b_k=\beta\)，同理\(\liminf\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n b_k=\alpha\)。\(\Box\)

最后，我们讨论级数的Cauchy乘积。

Definition 2.1.4 对级数\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n,\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n\)，令\(c_n\coloneqq\sum\limits_{k=0}^n a_kb_{n-k}\)，则级数\(\sum\limits_{n=0}^\infty c_n\)称为它们的Cauchy乘积。

Theorem 2.1.4(Mertens定理) 设\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n\)绝对收敛，\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n\)收敛，则它们的Cauchy乘积\(\sum\limits_{n=0}^\infty c_n\)收敛，且\(\sum\limits_{n=0}^\infty c_n=(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n)(\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n)\)。

• Proof 令\(A=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n,B=\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n,C=\sum\limits_{n=0}^{\infty} C_n\)及\(A_n=\sum\limits_{k=0}^{n} a_k,B_n=\sum\limits_{k=0}^{n} b_k,C_n=\sum\limits_{k=0}^{n}c_k,\beta_n=B_n-B\)。则有 \[ \begin{align*} C_n&=\sum_{p=0}^n\sum\limits_{q=0}^p a_qb_{p-q}\\ &=\sum_{k=0}^n a_kB_{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^na_k(B_{n-k}+B)+\sum_{k=0}^na_kB\\ &=\sum_{k=0}^na_k\beta_{n-k}+\sum_{k=0}^na_kB. \end{align*} \] 令\(\alpha=\sum\limits_{n=0}^\infty|a_n|\)，任给\(\varepsilon>0\)，有\(\exists N_1,\forall n>N_1,|a_n|<\varepsilon\)，又由\(\lim\limits_{n\to\infty}\beta_n=\lim\limits_{n\to\infty}B_n-B=0\)，我们有\(\exists N_2,\forall n>N_2,|\beta_n|<\varepsilon\)。取\(N=N_1+N_2,M=\max\{N_1,N_2\}\)，则\(\forall n>N\)，有 \[ \begin{align*} |\sum_{k=0}^n a_{n-k}\beta_{k}|&\leq|\sum_{k=0}^M a_{n-k}\beta_{k}|+|\sum_{k=M+1}^n a_{n-k}\beta_{k}|\\ &\leq\varepsilon\sum_{k=0}^M|\beta_k|+\varepsilon\sum_{k=M+1}^n|a_{n-k}|\\ &\leq\varepsilon\sum_{k=0}^M|\beta_k|+\varepsilon\alpha \end{align*} \] 固定\(M\)，令\(n\to\infty\)，得到\(\limsup\limits_{n\to\infty}|\sum\limits_{k=0}^n a_{n-k}\beta_{k}|\leq\varepsilon\alpha\)，由\(\varepsilon\)任意性，\(\lim\limits_{n\to\infty}|\sum\limits_{k=0}^n a_{n-k}\beta_{k}|=0\)。从而可得\(C=\lim\limits_{n\to\infty}C_n=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^na_kB=AB\)。 \(\Box\)