找到了发在被封的号上的一篇分析不变量化简二次曲面的本质的文章，重新整理发一下吧。 \[\require{mathtools}\]
导言
一个二次曲面方程最多有十项，因此，想要直接由原方程判断二次曲面的类型似乎不太可行。我们知道对坐标轴的一些变化会改变方程的形式，但并不改变二次曲面的类型，所以可以利用对坐标轴的一些变换化简二次曲面的方程，尽可能减少二次曲面方程中的项数。
一般地，对于一个坐标系的变化可以分解为三部分：对坐标轴的伸缩、旋转、平移（将对一个坐标轴镜像看作将该坐标轴旋转 角度\(\pi\)，因此镜像可以归到旋转中)，经过这三个变化后二次曲面的类型并不会发生变化。
变换对方程的影响
令 \[ X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix},A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_{34}\\a_{14}&a_{24}&a_{34}&a_{44}\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{12}&b_{22}&b_{23}\\b_{13}&b_{23}&b_{33}\end{pmatrix}. \] 我们来初步探讨这三种变化对二次曲面方程的影响。
坐标轴伸缩
任取一个二次曲面\(X'AX\)，对其坐标轴进行伸缩变换，假设\(x,y,z\)轴分别伸缩了\(k_1,k_2,k_3(k_i>0,i=1,2,3)\)倍，令 \[ X_0=\begin{pmatrix}k_1x\\k_2y\\k_3z\\1\end{pmatrix}, \] 变换后的曲面方程为\(X_0'AX_0\)，可以看出二次曲面方程的项并不会改变，改变的只有每项前面的系数。
而我们在化简二次曲面方程时并不关心每项系数的改变，只希望尽可能的减少项数，使方程的形式最简。因此我们不需要考虑伸缩变换。
坐标轴旋转
以椭球方程\(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)为例，对坐标轴进行旋转，例如将\(x,y\)旋转\(\frac{\pi}{4}\)后，令 \[ L=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&0\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}, \] 有旋转后的坐标\((x',y',z')=(x,y,z)L=(\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y,-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y,z)\)，代入原方程得 \[ E:(\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{2b^2})x'^2+(\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{2b^2})y'^2+\frac{z'^2}{c^2}+(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2})x'y'=1. \] 可以看出，椭球方程比原先多出了一个二次的交叉项\(x'y'\)，且二次项的系数发生了变化。
坐标轴平移
同样以上述的椭球方程为例，设平移后的坐标\((x',y',z')=(x+k_1,y+k_2,z+k_3)\)，代入原方程得 \[ E:\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}+\frac{z'^2}{c^2}+\frac{2x'}{a^2}+\frac{2y'}{b^2}+\frac{2z'}{c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1. \] 可以看出，椭球方程比原先多出了一次项，一次项的系数和常数项发生了改变。
利用坐标变换化简
我们可以断言：旋转会增减原方程的二次交叉项，平移会增减原方程的一次项及常数项。这个断言的证明只需要简单的验证即可。
因此可以先通过旋转消去所有方程的二次交叉项，之后若存在二次项，则可以平移消去对应的一次项，此时方程只会剩下四个项。若剩下的四个项中既有一次项又有常数项，可以再做平移消去常数项，从而得到方程的最简形式。且经过上述化简，二次曲面的类型并不发生变化。
知道了方程的化简方法之后就可以开始探究如何快速的进行方程的化简了。
同上文，对二次曲面方程\(X'AX\)，其中\(A\)为对称矩阵，由代数知识，必存在一个正交矩阵\(T\)，使得\(T'BT\)为对角矩阵。
考虑一下这个变化的几何意义，已知旋转时的过渡矩阵是正交矩阵，行列式绝对值为\(1\)。事实上，行列式的值体现了一个线性变换对空间的度量关系的伸缩程度。对于一个过渡矩阵，若行列式的值为负，则空间发生了镜像，例如一个正交变化使右手系变成左手系，则其行列式的值为\(-1\)。而行列式的绝对值等于\(1\)时，说明对空间的度量关系并没有被伸缩；行列式的绝对值大于\(1\)则使度量关系变大了；行列式的绝对值小于\(1\)则说明使度量关系变小了。特殊地，行列式的值等于\(0\)，则说明空间的维度减少，显然上述变化不会导致这种情形，因此可以只讨论行列式的值不为\(0\)的情况。
例如，对坐标轴的旋转不会改变空间的度量关系，则其行列式的绝对值为\(1\)。在空间直角坐标系中，三阶行列式可以看作一个平行六面体的体积。考虑一个边长为\(1\)的立方体，由向量\((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\)表示，其体积可由这三个向量的坐标写成行列式表示，值为\(1\)，度量关系变大或变小，这个平行六面体的体积也变大或变小，即大于\(1\)或小于\(1\)，同时过渡矩阵与这三个向量变化后的坐标排成的矩阵为同一个矩阵，此时行列式的值与空间变化的关系就很直观了。
知道了这一点之后，对\(B\)作正交变换，由代数知识，特征多项式是相似关系下的不变量，从而 \[ C=T'BT=\begin{pmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&\lambda_3\end{pmatrix}, \] 其中\(\lambda_i(i=1,2,3)\)为\(B\)的特征值（或\(0\)），矩阵\(T\)即代表了旋转。令 \[ D=\begin{pmatrix}T&\\&1\end{pmatrix}'A\begin{pmatrix}T&\\&1\end{pmatrix}, \] 显然解出特征值后平方项的系数就可以确定了。
确定了平方项的个数之后，结合最开始的讨论，可以分析一次项的存在性。
若\(C\)不是满秩矩阵则可能会有一次项的情况，例如原矩阵恰有两个特征值时，由开始的讨论，先考虑一次项是否存在，假设存在，方程可以写作\(\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+2kz=0\)，这时 \[ D=\begin{pmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&&k\\&&k&\end{pmatrix},I_4=-\lambda_1\lambda_2k^2,I_2=\lambda_1\lambda_2, \] 则有\(k=\pm\sqrt{\frac{I_4}{I_2}}\)。
若\(k=0\)，即\(I_4=0\)时，由开始的讨论，一次项不存在，就要考虑常数项，这时 \[ D=\begin{pmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&&&\\&&&k\end{pmatrix},K_2=\lambda_1\lambda_2k,I_2=\lambda_1\lambda_2, \] 则有\(k=\frac{K_2}{I_2}\)。
由此，得到了利用不变量化简二次曲面方程的一般性方法，其余情况类似讨论即可。