讲完函数极限与连续性之后，我们将序列与级数和函数结合起来。在本章，我们考察将度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的函数序列收敛的含义，探讨它们的极限与一些其他的运算的联系。
\[\require{mathtools}\]
一、函数项序列与级数
我们先介绍函数项序列的逐点收敛与一致收敛。
\(\S1.1\) 两种收敛性
Definition 1.1.1 设\(\{f_n\}\)是将度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的函数序列，对函数\(f\colon X\to Y\)，若\(\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=f(x),\forall x\in X\)，则称\(\{f_n\}\)在\(X\)上逐点收敛于\(f\)。
这个定义非常明显，但事实上，我们很容易给出例子说明逐点收敛是很弱的。
Example 定义\(f_n(x)\colon [0,1]\to[0,1],x\mapsto x^n\)，显然它们在\([0,1]\)上连续，但对 \[ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\begin{cases}0,x\in[0,1),\\ 1,x=1, \end{cases} \] 在\(x=1\)处间断。
因此，我们引入一致收敛。
Definition 1.1.2 设\(\{f_n\}\)是将度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的函数序列，对函数\(f\colon X\to Y\)，若\(\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,x\in X\)有\(d_Y(f_n(x),f(x))<\varepsilon\)，则称\(\{f_n\}\)在\(X\)上一致收敛于\(f\)。
不难看出，一致收敛蕴含了逐点收敛，下面的定理很清晰的揭示了一致收敛的性质比逐点收敛更好。
Theorem 1.1.1 设\(\{f_n\}\)是将度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的一致收敛于\(f\)的函数序列，且均在\(x_0\in X\)处连续，则\(f\)在\(x_0\)处连续。
Proof \(\forall\varepsilon>0\)，由一致收敛定义可知\(\exists N,\forall n>N,x>X\)，有\(d_Y(f_n(x),f(x))<\frac\varepsilon3\)。又由\(f_n\)的连续性得，\(\exists\delta>0,\forall x\in B_X(x_0,\delta),d_Y(f_n(x),f_n(x_0))<\frac\varepsilon3\)，从而\(\forall x\in B_X(x_0,\delta)\)，有
\[ d_Y(f(x),f(x_0))\leq d(f(x),f_n(x))+d(f_n(x),f_n(x_0))+d(f_n(x_0),f(x_0))<\varepsilon, \] 即\(f\)在\(x_0\)连续。 \(\Box\)
换而言之，在该定理的条件下，若\((Y,d_Y)\)是完备的且\(x_0\)是\(X\)的一个极限点，则我们有\(\lim\limits_{n\to\infty}\lim\limits_{x\to x_0}f_n(x)=\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\)。
Theorem 1.1.2 设\(\{f_n\}\)是将度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的一致收敛于\(f\)的有界函数序列，则\(f\)是有界函数。
- Proof 由一致收敛可知，\(\exists N,\forall x\in X,d(f(x),f_n(x))<1\)，又由\(f_n\)有界得\(f\)有界。 \(\Box\)
\(\S1.2\) 一致收敛与连续性
我们来进一步地讨论一致收敛与连续性的关系。
Definition 1.2.1 定义\(\mathscr B(X,Y)\)是将度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的所有有界函数集合，设\(f,g\in \mathscr B(X,Y)\)，定义\(d_\infty(f,g)=\sup\limits_{x\in X}d_Y(f(x),g(x))\)。
Theorem 1.2.1 上述定义的\(d_\infty\)是\(\mathscr B(X,Y)\)的一个度量。
- Proof 由有界性易知\(\forall f,g\in\mathscr B(X,Y)\)，\(d_\infty(f,g)\)一定存在且\(d_\infty(f,g)\geq0\)，且显然等号成立当且仅当\(f=g\)，而\(d_\infty(f,g)=d_\infty(g,f)\)也是显然的。
\(\forall f,g,h\in\mathscr B(X,Y)\)，有 \[ \begin{align*} d_\infty(f,g)+d_\infty(g,h)&=\sup\limits_{x\in X}d_Y(f(x),g(x))+\sup\limits_{x\in X}d_Y(g(x),h(x))\\&=\sup\limits_{x\in X}\{d_Y(f(x),g(x))+d_Y(g(x),h(x))\}\\&\leq\sup\limits_{x\in X}d_Y(f(x),h(x))\\&=d_\infty(f,h). \end{align*} \] 综上，\(d_\infty\)是\(\mathscr B(X,Y)\)的一个度量。 \(\Box\)
在后文中，我们默认在\(\mathscr B(X,Y)\)上使用\(d_\infty\)度量。因此，我们之后也可以直接称\(\mathscr B(X,Y)\)是一个度量空间。
Theorem 1.2.2 设\(\{f_n\}\)是\(\mathscr B(X,Y)\)中的函数序列，\(f\)是\(\mathscr B(X,Y)\)中的一个函数，则\(\{f_n\}\)一致收敛于\(f\)当且仅当\(\lim\limits_{n\to\infty}f_n=f\)。
由于我们定义了\(\mathscr B(X,Y)\)上的度量，所以\(\lim\limits_{n\to\infty}f_n\)是有意义的，而该定理可以由一致收敛的定义轻松得到。
进一步地，我们有如下结论。
Theorem 1.2.3 设\((Y,d_Y)\)是完备度量空间，则\(\mathscr B(X,Y)\)是完备度量空间。
- Proof 任取\(\mathscr B(X,Y)\)上的一个Cauchy序列\(\{f_n\}\)，有\(\forall\varepsilon>0,\exists N_1,\forall n,m>N_1,d_\infty(f_n,f_m)<\frac\varepsilon2\)，则\(\forall x\in X,d_Y(f_n(x),f_m(x))<\frac\varepsilon2\)，即对任一\(x\in X\)，\(\{f_n(x)\}\)是\(Y\)上的Cauchy序列，由\(Y\)完备可得该序列收敛于\(Y\)中一点，从而可得\(\{f_n\}\)逐点收敛，设其收敛于\(f\)，则\(\exists N_2,\forall m>N_2,d_Y(f_m(x),f(x))<\frac\varepsilon2\)。
又由\(d_Y(f_n(x),f(x))\leq d_Y(f_n(x),f_m(x))+d_Y(f_m(x),f(x))\)，取\(N=\max\{N_1,N_2\}\)，\(\forall n>N\)，有\(d_Y(f_n(x),f(x))<\varepsilon\)对任一\(x\in X\)均成立，即\(\{f_n\}\)一致收敛于\(f\)。
又由Theorem 1.1.2，\(f\in \mathscr B(X,Y)\)，由Theorem 1.2.2，\(\{f_n\}\)依度量\(d_\infty\)收敛于\(f\)，从而\(\mathscr B(X,Y)\)完备。 \(\Box\)
Definition 1.2.2 定义\(\mathscr C(X,Y)\)是将度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的所有有界连续函数集合。
很显然，\(\mathscr C(X,Y)\)是\(\mathscr B(X,Y)\)的一个子集，我们在\(\mathscr C(X,Y)\)上也使用\(d_\infty\)度量。当我们讨论的是\(\mathbb R\)上闭区间\([a,b]\)上的有界实函数和连续实函数时，简记为\(\mathscr B[a,b]\)和\(\mathscr C[a,b]\)。同样地，不产生歧义时，我们也会省略陪域\(Y\)，记作\(\mathscr B(X)\)或\(\mathscr C(X)\)。
Theorem 1.2.4 \(\mathscr C(X,Y)\)是\(\mathscr B(X,Y)\)的一个闭集。
- Proof 结合Theorem 1.1.1和1.1.2即可证。 \(\Box\)
实际上，我们有如下结论。
Theorem 1.2.5 设\((Y,d_Y)\)是完备度量空间，则\(\mathscr C(X,Y)\)是完备度量空间。
- Proof 任取\(\mathscr C(X,Y)\)上的一个Cauchy序列\(\{f_n\}\)，由Theorem 1.2.3可设\(\{f_n\}\)收敛于\(\mathscr B(X,Y)\)中的函数\(f\)。又由Theorem 1.1.1，\(f\)连续，从而\(f\in \mathscr C(X,Y)\)，即\(\mathscr C(X,Y)\)完备。 \(\Box\)
类似地，我们可以证明如下定理。
Theorem 1.2.6(一致收敛的Cauchy准则) 设\(\{f_n\}\)是将度量空间\((X,d_X)\)映入完备度量空间\((Y,d_Y)\)的函数序列，则其一致收敛当且仅当\(\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n,m>N,x\in X\)，有\(d_Y(f_n(x),f_m(x))<\varepsilon\)。
\(\S1.3\) 等度连续
为了讨论有界的函数序列是否也有收敛子列，我们引入等度连续。
Definition 1.3.1 设\(\{f_n\}\)是将度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的函数序列，若\(\forall x\in X\)，\(\{f_n(x)\}\)是有界序列，则称\(\{f_n\}\)逐点有界。
Definition 1.3.2 设\(\{f_n\}\)是将度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的函数序列，若\(\exists M>0,p\in Y,\forall n\in\mathbb{N^+},x\in X,d_Y(f_n(x),p)<M\)，则称\(\{f_n\}\)一致有界。
先给出一个在可数集上的结论。
Theorem 1.3.1 设\(\{f_n\}\)是将度量空间\((X,d_X)\)映入紧度量空间\((Y,d_Y)\)的逐点有界的函数序列，其中\(X\)是可数集，则\(\{f_n\}\)存在子序列\(\{f_{n_k}\}\)在\(X\)上逐点收敛。
- Proof 只需考虑\(X\)为无限集，不妨设\(X=\{x_k\colon k\in\mathbb{N}^+\}\)，由\(\{f_n(x_1)\}\)有界，结合紧度量空间的自列紧性，存在子序列\(\{f_{1,n}\}\)使得\(\{f_{1,n}(x_1)\}\)收敛。
假设对\(N\in\mathbb{N^+}\)，已经有了序列\(\{f_{N,n}\}\)使得\(\{f_{N,n}(x_N)\}\)收敛，则对序列\(f_{N,N+1},f_{N,N+2},\dots\)，也可也选出一个子序列\(\{f_{N+1,n}\}\)使得\(\{f_{N+1,n}(x_{N+1})\}\)收敛。
由此，我们选取\(f_{1,1},f_{2,2},\dots,f_{n,n},\dots\)，由收敛序列的子序列也收敛到同一个值，可以看出这个序列在\(X\)上逐点收敛。 \(\Box\)
但事实上，如果定义域不可数，即使是在紧集上一致有界的函数，也可能连逐点收敛的子序列都不存在，因此我们需要更进一步的定义。
Definition 1.3.3 设\(F\)是一族将度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的函数，若\(\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x,y\in X,\forall f\in F\)，只要\(d_X(x,y)<\delta\)就有\(d_Y(f(x),f(y))<\varepsilon\)，则称\(F\)在\(X\)上等度连续。
接着，我们揭示在紧度量空间上，等度连续与一致收敛的关系。
Theorem 1.3.2 设\(\{f_n\}\)是将紧度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的连续函数序列且一致收敛于\(f\)，则\(\{f_n\}\)在\(X\)上等度连续。
- Proof \(\forall\varepsilon>0\)，由连续函数的性质可知\(\{f_n\}\)均为有界函数，即\(\forall n\in\mathbb{N}^+,f_n\in \mathscr C(X,Y)\)，且\(f_n\)一致收敛，从而\(\exists\delta_n>0\)，只要\(d_X(x,y)<\delta_n\)，则\(d_Y(f_n(x),f_n(y))<\frac\varepsilon3\)。
又由\(\{f_n\}\)一致收敛，\(\exists N,\forall n>N,d_\infty(f_n,f_N)<\frac\varepsilon3\)，从而当\(n>N\)且\(d_X(x,y)<\delta_N\)时，有 \[ d_Y(f_n(x),f_n(y))\leq d_Y(f_n(x),f_N(x))+d_Y(f_N(x),f_N(y))+d_Y(f_N(y),f_n(y))<\varepsilon. \] 取\(\delta=\min\{\delta_1,\dots,\delta_N\}\)，即可证得\(\{f_n\}\)在\(X\)上等度连续。 \(\Box\)
Theorem 1.3.3 设\(\{f_n\}\)是将紧度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的连续函数序列，在\(X\)上逐点有界且等度连续，则\(\{f_n\}\)在\(X\)上一致有界且有一致收敛的子序列。
- Proof 由等度连续可知，\(\exists\delta_1,\forall n\in\mathbb{N}^+\)，若\(d_X(x,y)<\delta_1\)，则\(d_Y(f_n(x),f_n(y))<1\)。
由\(X\)是紧集，存在有限个\(X\)中的点\(x_1,\dots,x_m\)，使得它们以\(\delta_1\)为半径的开球是\(X\)的一个有限开覆盖。
又由\(\{f_n\}\)逐点有界，\(\forall k=1,\dots,m\)，存在\(p_k\in Y,M_k>0\)，对任意\(n\)，有\(\{f_n(x_k)\}\)在\(B_Y(p_k,M_k)\)中，取\(M=\max\limits_{k=1,\dots,m}\{d_Y(p_1,p_k)+M_k\}\)，则\(f_n(X)\)在\(B_Y(p_1,M+1)\)中，即\(\{f_n\}\)一致有界。
对所有正整数\(N\)，由紧性可知存在\(X\)中有限个点的点集\(Q_N=\{q_{N,1},\dots,q_{N,m_N}\}\)，以其中所有点为圆心的半径为\(\frac{1}{N}\)的开球是\(X\)的一个有限开覆盖。取\(Q=\bigcup\limits_{k=1}^\infty Q_k\)，显然这是\(X\)的一个可数稠密子集，则由Theorem 1.3.1可知存在\(\{f_n\}\)的一个子序列\(\{f_{n_k}\}\)在\(Q\)上逐点收敛。
令\(g_k=f_{n_k}\)，\(\forall\varepsilon>0\)，由等度连续，\(\exists\delta>0\)，若\(d_X(x,y)<\delta\)则\(d_Y(g_k(x),g_k(y))<\frac\varepsilon3,\forall k\in\mathbb{N^+}\)。由\(Q\)在\(X\)中稠密可知\(\{B_X(x,\delta)\colon x\in Q\}\)是\(X\)的一个开覆盖，则其存在有限子覆盖\(B_X(x_1,\delta),\dots,B_X(x_r,\delta)\)。又由\(\{g_k\}\)在\(Q\)上逐点收敛，有 \[ \exists N,\forall n,m>N,d_Y(g_n(x_s),g_m(x_s))<\frac\varepsilon3,\forall s\in\{1,\dots,r\}, \] 任取\(x\in X\)都有\(x_1,\dots,x_r\)中一点\(x_s\)，使得\(x\in B_X(x_s,\delta)\)，则有 \[ d_Y(g_n(x),g_m(x))\leq d_Y(g_n(x),g_n(x_s))+d_Y(g_n(x_s),g_m(x_s))+d_Y(g_m(x_s),g_m(x))<\varepsilon. \] 综上所述，\(\{f_{n_k}\}\)是\(\{f_n\}\)的一个在\(X\)上一致收敛的子序列。 \(\Box\)
二、函数项级数与幂级数
\(\S2.1\) 函数项级数
我们将研究对象限定为将度量空间\((X,d_X)\)映入\(\mathbb{C}\)的函数，来讨论函数项级数的性质。
对复值函数序列\(\{f_n\}\)，定义\(S_n\coloneqq\sum\limits_{k=1}^n f_k\)，函数项级数为\(\sum f_n\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}S_n\)，自然地，可以将逐点收敛与一致收敛的定义套用在函数项级数上（为便于表述，会直接称\(\{S_n\}\)一致收敛为\(\sum f_n\)一致收敛），则上述的一些关于函数序列与连续性、有界性的定理可以轻易导出函数项级数类似的性质，下文只给出一个关于连续性的结论，不再展开。
Theorem 2.1.1(Weierstrass M判别法) 设\(\{f_n\}\)是将度量空间\((X,d_X)\)映入\(\mathbb{C}\)的函数序列，且\(|f_n(x)|\leq M_n,\forall x\in X,\forall n\in\mathbb{N^+}\)，若\(\sum M_n\)收敛，则\(\sum f_n\)一致收敛。
- Proof 由\(\sum M_n\)收敛且\(\forall n\in\mathbb{N^+},\sum\limits_{k=1}^n f_n\)有界，则\(\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n>m>N,|\sum\limits_{k=m}^nf_k(x)|\leq\sum\limits_{k=m}^n M_k<\varepsilon\)，结合Theorem 1.2.2，\(\sum f_n\)一致收敛。 \(\Box\)
由Theorem 1.1.1，我们可以直接导出下述定理。
Theorem 2.1.2 设\(\{f_n\}\)是将度量空间\((X,d_X)\)映入\(\mathbb{C}\)的函数序列，每个\(f_n\)均在\(x_0\in X\)处连续，且\(\sum f_n\)一致收敛，则\(\sum f_n\)在\(x_0\)处连续。
在定理的条件下， 我们有\(\lim\limits_{x\to x_0}\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\lim\limits_{x\to x_0}f_n(x)\)，即一致收敛时，求和与极限运算可交换。
\(\S2.2\) 幂级数
接着，我们引入幂级数，需要注意的是，我们默认讨论的是\(\mathbb{C}\)上的幂级数。
Defintion 2.2.1 给定\(\mathbb{C}\)上的函数序列\(\{c_nx^n\}\)，称函数项级数\(\sum c_nx^n,x\in\mathbb{C}\)为幂级数。
给定\(x\)之后，幂级数就成了\(\mathbb{C}\)上的级数，它的敛散性与\(x\)的取值相关。我们不妨先讨论此时幂级数的性质。
Theorem 2.2.1(Cauchy-Hadamard收敛半径公式) 对幂级数\(\sum c_n x^n\)，定义\(R=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}|c_n|^{\frac{1}{n} }}\)，特殊地，\(\limsup\limits_{n\to\infty}|c_n|^{\frac{1}{n} }=0\)时\(R=+\infty\)，\(\limsup\limits_{n\to\infty}|c_n|^{\frac{1}{n} }=+\infty\)时\(R=0\)。则有：
(i) 若\(|x|<R\)，\(\sum c_nx^n\)绝对收敛；
(ii) 若\(|x|>R\)，\(\sum c_nx^n\)发散。
利用Cauchy根式判别法即可证明上述定理，我们将定理中定义的\(R\)称为该幂级数的收敛半径。类似Cauchy根式判别法，在\(|x|=R\)时幂级数的敛散性需要另行判断。
不难看出，幂级数\(\sum a_nx^n\)与\(\sum b_nx^n\)的Cauchy乘积为\(\sum(\sum\limits_{k=0}^na_kb_{n-k})x^n\)，结合Mertens定理，易见下述的幂级数运算。
Theorem 2.2.2 设幂级数\(\sum a_nx^n\)与\(\sum b_nx^n\)的收敛半径分别为\(R_1\)与\(R_2\)，\(R=\min\{R_1,R_2\}\)，则\(|x|<R\)时，
(i) \(\sum a_nx^n+\sum b_nx^n=\sum(a_n+b_n)x^n\)绝对收敛；
(ii) \(\sum(\sum\limits_{k=0}^na_kb_{n-k})x^n\)绝对收敛。
接着，我们可以开始用幂级数定义一些函数了。由于复数域不是序域（参见第三篇笔记Theorem 4.4.2)，原先将有理数次幂拓展到实数次幂的方法行不通了，因此我们寻求一个新的定义。
Definition 2.2.2 定义\(\exp(x)\coloneqq\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},\forall x\in \mathbb{C}\)。
易见\(\sum\frac{x^n}{n!}\)的收敛半径为\(+\infty\)，因此\(\exp(x)\)在\(\mathbb{C}\)上是良定义的。
不难看出，在\(\mathbb{R}\)上\(\exp\)恒为正且严格递增，则必然存在反函数。
Definition 2.2.3 定义\(\mathbb{R^+}\)上的函数\(\ln\coloneqq\exp^{-1}\)。
易得\(\ln\)的一些运算性质：\(\forall x,y\in\mathbb{R}^+,\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\)；\(\forall x\in\mathbb{R^+},y\in\mathbb{R},\ln(x^y)=y\ln(x)\)。
Theorem 2.2.3 \(\exp(x)\exp(y)=\exp(x+y),\forall x,y\in\mathbb{C}\)。
- Proof 由Mertens定理，\(\exp(x)\exp(y)\)是收敛的，则有 \[ \begin{align*} \exp(x)\exp(y)&=\sum(\sum_{k=0}^n\frac{x^ky^{n-k} }{k!(n-k)!})\\ &=\sum(\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n C_n^kx^ky^{n-k})\\ &=\sum\frac{(x+y)^n}{n!}=\exp(x+y). \end{align*} \] \(\Box\)
得到了该定理之后，结合\(\exp(0)=1\)和\(\exp(1)={\rm e}\)，我们可以得到\(\exp(x)={\rm e}^x,\forall x\in \mathbb{R}\)，因此把\(\exp\)称作指数函数是合理的。之后不再区分\(\exp\)与\(\rm e\)，即定义\({\rm e}^x\coloneqq \exp(x),\forall x\in\mathbb{C}\)。
而对于正实数的幂，我们可以定义\(x^\alpha\coloneqq{\rm e}^{\alpha\ln x}\)，不难验证这与我们之前利用上确界的定义是完全一致的。
接着，我们定义\(\mathbb{C}\)上的三角函数。
Definition 2.2.4 定义\(\cos(x)=\frac{\exp({\rm i}x)+\exp(-{\rm i}x)}{2},\sin(x)=\frac{\exp({\rm i}x)-\exp(-{\rm i}x)}{2},\forall x\in\mathbb{C}\)。
由定义可以立刻得到Euler公式。
Theorem 2.2.4(Euler公式) \({\rm e}^{ {\rm i}x}=\cos(x)+{\rm i}\sin(x)\)。
利用该定义和Euler公式，许多三角函数的公式（例如\(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1,\forall x\in\mathbb{C}\)）都是显而易见的了。
由\(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1,{\rm e}^{x+{\rm i}y}={\rm e}^x(\cos(y)+{\rm i}\sin(y)),\forall x\in\mathbb{C}\)，不难看出对任意的复数\(a+b{\rm i}\)都存在\(x,y\in\mathbb{R}\)（或\(\rho,\theta\in\mathbb{R}\)使得\({\rm e}^{x+{\rm i}y}=a+b{\rm i}\)（或\(\rho{\rm e}^{ {\rm i}\theta}=a+b{\rm i}\)）。
Theorem 2.2.5 设幂级数\(\sum c_nx^n\)的收敛半径为\(R\)，则\(\forall r\in[0,R)\)，\(\sum c_nx^n\)在\(\{x\in\mathbb{C}\colon |x|\leq r\}\)上一致收敛。
- Proof 令\(C=\{x\in\mathbb{C}\colon |x|\leq r\}\)，取\(p=\frac{R+r}{2}\)，由Cauchy-Hadamard收敛半径公式，\(\sum |c_n|p^n\)收敛且\(\sum |c_n|p_n>\sum c_nx^n,\forall x\in C\)，结合M判别法即可知\(\sum c_nx^n\)一致收敛。 \(\Box\)
Theorem 2.2.6 设幂级数\(\sum c_nx^n\)的收敛半径为\(R\)，则其在\(B_\mathbb{C}(0,R)\)上连续。
- Proof 由Theorem 1.1.1、2.2.5即可得。 \(\Box\)
从而可得\(\exp\)、\(\sin\)、\(\cos\)都在\(\mathbb{C}\)上连续，又由第七篇笔记的Theorem 2.2.4可得\(\ln\)在\(\mathbb{R^+}\)上连续。
借助之前的零点定理，我们就可以定义\(\pi\)了，首先我们给出一个定理。
Theorem 2.2.7 \(\cos(x)\)在\(\mathbb{R}^+\)上存在零点。
- Proof 由上一篇笔记中\(\cos\)的定义可知，\(\cos(0)=1\)，以及\(\cos(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-x^2)^k}{k!}\)，则有 \[ \begin{align*} \cos(2)&=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-4)^k}{(2k)!}\\ &=1-2+\frac{2}{3}-\frac{8}{15}+\sum\limits_{k=4}^\infty\frac{(-4)^k}{(2k)!}\\ &<-\frac{13}{15}+\sum\limits_{k=4}^\infty\frac{4^k}{(2k)!}\\ &<-\frac{13}{15}+\sum\limits_{k=4}^\infty\frac{\prod\limits_{i=k+1}^{2k}i}{(2k)!}\\ &=-\frac{13}{15}+\sum\limits_{k=4}^\infty\frac{1}{k!}\\ &=-\frac{13}{15}+{\rm e}-1-1-\frac12-\frac16\\ &<{\rm e}-3<0. \end{align*} \] 从而由零点定理，\(\cos(x)\)在\((0,2)\)上存在零点。
对于闭区间\([a,b]\)上的连续函数，若其零点集合非空，不难证明该集合的下确界一定也是一个零点，因此我们可以确定\(\cos\)在\([0,2]\)上一定存在一个最小正零点。
Definition 2.2.8 设\(x_0\)为\(\cos(x)\)在\(\mathbb{R}\)上的最小正零点，定义\(\pi\coloneqq 2x_0\)。
我们可以很容易验证下述命题。
(a) \(\exp\)是以\(2\pi{\rm i}\)为周期的函数；
(b) \(\cos\)和\(\sin\)是以\(2\pi\)为周期的函数；
(c) \(\forall z\in\mathbb{C}\)且\(|z|=1\)，在\([0,2\pi)\)中存在唯一的\(t\)，使得\(\exp({\rm i}t)=z\)。
最后，我们用证明复数域的代数完备性结束。
Theorem 2.2.8(代数学基本定理) 复数域上非常数多项式必有复根。
- Proof 对\(n(\geq1)\)阶多项式\(P(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k,a_i\in\mathbb{C},i=0,1,\dots,n\)，不失一般性，不妨设\(a_n=1\)，令\(\mu=\inf\limits_{x\in\mathbb{C} }|P(x)|\)。
由\(|P(x)|\geq|x|^n(1-\sum\limits_{k=0}^{n-1}|a_{k}||x|^{k-n})\)，令 \[ R=\max\{(4\mu)^{\frac{1}{n} },\max\limits_{k=1,\dots,n}(2n|a_k|)^{k-n}\}, \] 有\(|x|>R\)时\(|P(x)|\geq 2\mu\)。不难看出，\(|P(x)|\)在\(\{x\in\mathbb{C}\colon |x|\leq R\}\)上连续，则\(\exists x_0,|P(x_0)|=\mu\)。
假设\(\mu\neq0\)，令\(Q(x)=\frac{1}{P(x_0)}P(x+x_0)\)，有\(Q(0)=1\)且\(|Q(x)|\geq1,\forall x\in\mathbb{C}\)，记\(Q(x)=1+\sum\limits_{i=k}^nb_ix^i\)，其中\(k=\min\{i=1,\dots,n\colon b_i\neq0\}\)，由上一章笔记的讨论可知，\(\exists\theta\in\mathbb{R}\)，使得\({\rm e}^{ {\rm i}k\theta}b_k=-|b_k|\)。
取\(r=\min\{(\frac{1}{2|b_k|})^\frac{1}{k},\min\limits_{p=k+1,\dots,n}(\frac{n|b_p|}{|b_k|})^{p-k}\}\)，有\(Q(r{\rm e}^{ {\rm i}\theta})\leq1-r^k(|b_k|-\sum\limits_{i=k+1}^nr^{i-k}|b_k|)<1\)，与\(|Q(x)|\geq1\)矛盾，从而\(\mu=0\)，即\(P(x_0)=0\)。 \(\Box\)
由该定理可以推出，复数域上\(n\)次多项式恰好有\(n\)个复根（重根按重数计算）。