分析学笔记(9)多元微分

本节直接从多元微分着手讨论，涉及的代数知识不再加以定义和证明。\(\require{mathtools}\)

在开始之前，先给出一些约定：

• 设\(V\)和\(W\)是线性空间，记\(L(V,W)\)为\(V\)到\(W\)的所有线性变换的集合；
• 设\(V\)是线性空间，记\({\rm dim}V\)为\(V\)的维度，\({\rm Ker}V\)为\(V\)的核，\({\rm Im}V\)为\(V\)的象；
• 未说明时，默认使用\(\mathbb{R}^n\)的标准正交基\(\{\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_n\}\)（即\(e_i\)的第\(i\)个分量是\(1\)其余是\(0\)）和\(\mathbb{R}^m\)的标准正交基\(\{\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_n\}\)，默认使用将\(\mathbb{R}^n\)映入\(\mathbb{R}^m\)的函数\(f\)；
• 任给\(\boldsymbol y\in\mathbb{R}^m\)，可被唯一表示为\(\boldsymbol y=\sum\limits_{k=1}^my_k\boldsymbol u_k\)，记作\(\boldsymbol y=(y_1,\dots,y_n)\)，定义\(f\)的第\(i\)个分量为实值函数\(f_i(\boldsymbol x)\coloneqq \boldsymbol f(\boldsymbol x)\cdot\boldsymbol{u}_i,i=1,\dots,m\)；
• 在第三篇笔记中，我们定义了默认向量的范数为\(l_2\)范数，下文里线性变换的范数和矩阵范数则默认使用其诱导范数（记作\(\Vert\cdot\Vert\)），自然地，以\(d(A,B)=\lVert A-B\rVert\)作为\(L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)\)上的度量；
• 对\(\boldsymbol x=(x_1\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n\)与\(\boldsymbol y=(y_1,\dots,y_m)\in\mathbb{R}^m\)，记\((\boldsymbol x,\boldsymbol y)\coloneqq(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)\in\mathbb{R}^{n+m}\)。

一、导数

\(\S1.1\)微分法

Definition 1.1.1 设开集\(E\subset\mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol f\colon E\to\mathbb{R}^m\)，对\(\boldsymbol{x}\in E\)，若存在\(A\in L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)\)，使得\(\lim\limits_{\boldsymbol{h}\to\boldsymbol0}\frac{\boldsymbol f(\boldsymbol{x+h})-\boldsymbol f(\boldsymbol{x})-A\boldsymbol h}{|\boldsymbol{h}|}=\boldsymbol0\)，则称\(\boldsymbol f\)在\(\boldsymbol{x}\)可微，记导数\(\boldsymbol f'(\boldsymbol{x})\coloneqq A\)。若\(f\)在每个\(\boldsymbol{x}\in E\)可微，则称\(f\)在\(E\)内可微。

Remark 不难看出，若\(\boldsymbol f\)在某点可微，则一定在该点连续。若\(\boldsymbol f\)在\(E\)的每一点都可微，则称\(\boldsymbol f\)在\(E\)上可微。另外，不难看出这个定义中的式子有个等价的形式为\(\lim\limits_{\boldsymbol{h}\to\boldsymbol0}\frac{|\boldsymbol f(\boldsymbol{x+h})-\boldsymbol f(\boldsymbol{x})-A\boldsymbol h|}{|\boldsymbol{h}|}=0\)。另外，对实函数\(f\)，\(f'\)是一个\(\mathbb{R}\)到\(\mathbb{R}\)的线性映射，在标准正交基下我们可以直接将其看作一个实数。

在开始讨论可微性之前，我们先证明\(\boldsymbol f\)在某点可微时导数\(\boldsymbol f'\)是唯一的。

Theorem 1.1.1 在上述定义的记号中，若\(A_1,A_2\)都满足条件，则\(A_1=A_2\)。

• Proof 令\(B=A_1-A_2\)，由定义可知 \[ \lim\limits_{\boldsymbol{h}\to\boldsymbol{0}}\frac{|B\boldsymbol{h}|}{|\boldsymbol{h}|}\leq\lim\limits_{\boldsymbol{h}\to\boldsymbol{0}}\frac{|\boldsymbol f(\boldsymbol{x+h})-\boldsymbol f(\boldsymbol{x})-A_1\boldsymbol{h}|+|\boldsymbol f(\boldsymbol{x+h})-\boldsymbol f(\boldsymbol{x})-A_2\boldsymbol{h}|}{|\boldsymbol{h}|}=0. \] 即\(\lim\limits_{\boldsymbol{h}\to\boldsymbol{0}}\frac{|B\boldsymbol{h}|}{|\boldsymbol{h}|}=0\)。
  \(\forall\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n,t>0\)，有\(\frac{|B\boldsymbol{x}|}{|\boldsymbol{x}|}=\frac{|B(t\boldsymbol{x})|}{|t\boldsymbol{x}|}\)。又由上可知 \[ \lim\limits_{t\to 0}\frac{|B(t\boldsymbol{x})|}{|t\boldsymbol{x}|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{|B\boldsymbol{x}|}{|\boldsymbol{x}|}=0, \] 即\(\frac{|B\boldsymbol{x}|}{|\boldsymbol{x}|}=0\)，从而\(B=0\)，则\(A_1=A_2\)。 \(\Box\)

Remark 对函数\(A\in L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)\)，易见\(A'(x)=A\)。

接着，我们引入链式法则。

Theorem 1.1.2(链式法则) 设开集\(E\subset\mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol f\colon E\to\mathbb{R}^m\)，\(F\)是开集且\(\boldsymbol f(E)\subset F\)，\(\boldsymbol g\colon F\to\mathbb{R}^k\)且\(\boldsymbol f\)在\(\boldsymbol f(x_0)\)可微，\(\boldsymbol g\)在\(\boldsymbol f(x_0)\)可微，则\((\boldsymbol g\circ \boldsymbol f)'(x_0)=\boldsymbol g'(\boldsymbol f(x_0))\boldsymbol f'(x_0)\)。

Remark 定理中\(\boldsymbol g'(\boldsymbol f(x_0))\boldsymbol f'(x_0)\)是两个线性变换的积。

• Proof 令\(A=\boldsymbol f'(x_0)\)，\(B=\boldsymbol g'(\boldsymbol f(x_0))\)，\(\boldsymbol u(\boldsymbol h)=\boldsymbol f(\boldsymbol x_0+\boldsymbol h)-\boldsymbol f(\boldsymbol x_0)-A\boldsymbol h\)，\(\boldsymbol v(\boldsymbol h)=\boldsymbol g(\boldsymbol y_0+\boldsymbol h)-\boldsymbol g(\boldsymbol y_0)-B\boldsymbol k\)。
  给定\(\boldsymbol h\)，令\(\boldsymbol k=\boldsymbol f(\boldsymbol x_0+\boldsymbol h)-\boldsymbol f(\boldsymbol x_0)\)，有 \[ \begin{align*} (\boldsymbol g\circ \boldsymbol f)(\boldsymbol x_0+\boldsymbol h)-(\boldsymbol g\circ \boldsymbol f)(\boldsymbol x_0)-BA\boldsymbol h&=\boldsymbol g(\boldsymbol f(\boldsymbol x_0)+\boldsymbol k)-\boldsymbol g(\boldsymbol f(\boldsymbol x_0))-BA\boldsymbol h\\ &=B(\boldsymbol k-A\boldsymbol h)+\boldsymbol v(\boldsymbol k)\\ &=B\boldsymbol u(\boldsymbol h)+\boldsymbol v(\boldsymbol k). \end{align*} \] 由\(\boldsymbol f\)在\(\boldsymbol x_0\)可微，有\(\lim\limits_{\boldsymbol h\to 0}\frac{|\boldsymbol u(\boldsymbol h)|}{|\boldsymbol h|}=0\)，即\(\lim\limits_{\boldsymbol h\to 0}|\boldsymbol u(\boldsymbol h)|=0\)，又由\(|\boldsymbol k|=|A\boldsymbol h+\boldsymbol u(\boldsymbol h)|\leq\Vert A\Vert|\boldsymbol h|+|\boldsymbol u(\boldsymbol h)|\)得\(\lim\limits_{\boldsymbol h\to0}|\boldsymbol k|=0\)，同理由\(\boldsymbol g\)在\(\boldsymbol f(\boldsymbol x_0)\)可微得\(\lim\limits_{\boldsymbol h\to0}\frac{|\boldsymbol v(\boldsymbol k)|}{|\boldsymbol k|}=\lim\limits_{\boldsymbol k\to0}\frac{|\boldsymbol v(\boldsymbol k)|}{|\boldsymbol k|}=0\)，因此\(\lim\limits_{\boldsymbol h\to 0}\frac{|\boldsymbol v(\boldsymbol k)|}{|\boldsymbol h|}=\lim\limits_{\boldsymbol h\to0}\frac{|\boldsymbol v(\boldsymbol k)|}{|\boldsymbol k|}\frac{|\boldsymbol k|}{|\boldsymbol h|}=0\)，从而有 \[ \begin{align*} \lim\limits_{\boldsymbol h\to0}\frac{|(\boldsymbol g\circ \boldsymbol f)(\boldsymbol x_0+\boldsymbol h)-(\boldsymbol g\circ \boldsymbol f)(\boldsymbol x_0)-BA\boldsymbol h|}{|\boldsymbol h|}&=\lim\limits_{\boldsymbol h\to0}\frac{|B\boldsymbol u(\boldsymbol h)+\boldsymbol v(\boldsymbol k)|}{|\boldsymbol h|}\\ &\leq\lim\limits_{\boldsymbol h\to0}(\Vert B\Vert\frac{|\boldsymbol u(\boldsymbol h)|}{|\boldsymbol h|}+\frac{|\boldsymbol v(\boldsymbol k)|}{|\boldsymbol h|})\\ &=0. \end{align*} \] 即\(\boldsymbol g\circ \boldsymbol f\)在\(\boldsymbol x_0\)可微，且\((\boldsymbol g\circ \boldsymbol f)'(x_0)=BA=\boldsymbol g'(\boldsymbol f(x_0))\boldsymbol f'(x_0)\)。 \(\Box\)

\(\S1.2\) \(\mathbb R\)上的微分

我们先来探寻一下对实函数，求导运算具有哪些性质。

对实函数\(f\)，若其在\(x\)的导数为\(f'(x)\)，我们更习惯将\(f'(x)\)看作一个实数处理，因此也将\(f'\)看作一个实函数，则\(\lim\limits_{h\to0}\frac{|f(x+h)-f(x)-f'(x)h|}{|h|}=0\)，即\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)\)，以下运算法则是显而易见的。

Theorem 1.2.1 设\(f(x)\)，\(g(x)\)是\((a,b)\)上的实函数且在\(x_0\in(a,b)\)可微，则\(f(x)\pm g(x)\)，\(f(x)g(x)\)，\(f(x)/g(x)\)都在\(x\)可微，且
(a) \((f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)\)；
(b) \([f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)；
(c) \([f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g^2(x)\)。

另外，由定义，\(f\)的导数与极值和单调性的关系是显而易见，讨论起来太过琐碎，就不再列出。

下面我们引入将函数与其导数联系起来的中值定理。

Theorem 1.2.2(Rolle定理) 设\(f\)是\([a,b]\)上的连续实函数且在\((a,b)\)上可微，\(f(a)=f(b)\)，则\(\exists\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。

• Proof 由\(f\)在\([a,b]\)上连续可设\(f\)在\([a,b]\)上的最大值和最小值分别为\(M\)和\(m\)，若\(M=m\)，则\(f\)为常值函数，定理显然成立。
  考虑\(M\neq m\)，由\(f(a)=f(b)\)，则两个区间端点的函数值不可能同时为\(M\)和\(m\)。不妨设\(\exists\xi\in(a,b)\)，使得\(f(\xi)=M\)，则有\(f(\xi)-f(\xi+h)\geq0\)恒成立。又由\(f\)在\(\xi\)可导得\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}=f'(\xi)\)。而\(\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\)在\(h>0\)时大于等于\(0\)，\(h<0\)时小于等于\(0\)，由极限的性质可知\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}=0\)，即\(f'(\xi)=0\)。 \(\Box\)

Theorem 1.2.3(Lagrange中值定理) 设\(f\)是\([a,b]\)上的连续实函数且在\((a,b)\)上可微，则\(\exists\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

• Proof 令\(F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x\)，易见\(F(b)=F(a)\)，且\(F\)在\([a,b]\)上连续，\((a,b)\)上可微，则有Rolle定理得\(\exists\xi\in(a,b)\)，使得\(F'(\xi)=0\)，即\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

在后文中我们会构造一个处处连续且处处不可导的实函数，但在这之前，我们可以先揭示一些实数域上连续性和可微性的关系。

Theorem 1.2.4(Darboux定理) 设\(f\)是\([a,b]\)上的可微实函数且\(f'(a)<\lambda<f'(b)\)，则\(\exists\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=\lambda\)。

• Proof 令\(g(x)=f(x)-\lambda x\)，有\(g'(a)<0\)，则\(\exists x_1\)，使得\(g(x_1)>g(a)\)，同理\(\exists x_2\)使得\(g(x_2)<g(b)\)，因此\(g\)在\(x_1\)与\(x_2\)之间的某点\(\xi\)取到最小值，由导数与极值的关系可知\(g'(\xi)=0\)，即\(f'(\xi)=\lambda\)。 \(\Box\)

下面我们给出利用导数计算某些极限的L'Hospital法则。

Theorem 1.2.5(L'Hospital法则) 设\(f\)和\(g\)是实函数，\(\exists\delta>0\)使得在\((a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)\)上
(a) \(f\)和\(g\)有定义且可微；
(b) \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}g(x)=0\)；
(c) \(g'(x)\neq0\)且\(\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\)。
则\(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=A\)，其中\(A\)可以为实数或\(\pm\infty\)。

我们将一个可微实函数的导数视作是实函数，则其导数也可能可微，由此我们引入实函数的高阶导数。

Definition 1.2.1 设\(f\)是\(X\)上的可微实函数，不妨记其导数为\(f^{(1)}\)，称为一阶导数。\(\forall n\in\mathbb{N}^+\)，若\(f\)存在\(n\)阶导数\(f^{(n)}\)且在\(X\)上可微，则定义其\(n+1\)阶导数为\(f^{(n+1)}\)（同样地，我们也将\(n+1\)阶导数看作实函数）。特殊地，记\(f^{(0)}=f\)。

Remark 若\(f^{(n)}\)在\(x\)处存在，则\(f^{(n-1)}\)必在\(x\)的某个邻域上存在。

借此，我们可以引出Taylor定理。

Theorem 1.2.6(Taylor定理) 设\(f\)是实函数，且在定义域中一点\(x_0\)处有\(n\)阶导的，定义其Taylor多项式为\(T_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\)，则\(f(x)=T_n(x)+o((x-x_0)^n)\)。

• Proof 设\(R_n(x)=f(x)-T_n(x)\)， \(Q_n(x)=(x-x_0)^n\)，则只需证\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{Q_n(x)}=0\)。

  注意到\(T^{(k)}_n(x)=f^{(k)}(x),k=0,1,\dots,n\)，则\(R_n^{(k)}(x)=0,k=0,1,\dots,n\)。另外，\(Q^{(k)}_n(x_0)=0,k=0,1,\dots,n-1\)且\(Q^{(n)}_n(x_0)=n!\)。由\(f^{(n)}(x_0)\)存在可知，\(f\)在\(x_0\)的某个邻域上存在\(n-1\)阶导，则由L'Hospital法则，有 \[ \begin{align*} \lim_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{Q_n(x)}&=\lim_{x\to x_0}\frac{R'_n(x)}{Q'_n(x)}=\cdots=\lim_{x\to x_0}\frac{R^{(n-1)}_n(x)}{Q^{(n-1)}_n(x)}\\ &=\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)-f^{(n)}(x_0)(x-x_0)}{n!(x-x_0)}\\ &=\frac{1}{n!}\lim_{x\to x_0}[\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}-f^{(n)}(x_0)]\\ &=0. \end{align*} \] 即\(f(x)=T_n(x)+o((x-x_0)^n)\)。 \(\Box\)

事实上，这个定理只反映\(x\to x_0\)时的逼近情况，更一般地，我们有如下定理。

Theorem 1.2.7 设\(f\)是\([a,b]\)上有\(n\)阶连续导数的实函数，且在\((a,b)\)上有\(n+1\)阶导数，则\(\forall x,x_0\in[a,b],\exists\xi\in(a,b)\)，使得\(f(x)=T_n(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)，其中\(T_n\)定义同上述定理。

• Proof \(x=x_0\)是显然的，考虑\(x\neq x_0\)，不妨设\(x<x_0\)，令 \[ M=\frac{f(x)-T_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}},F(t)=f(t)-\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x)}{k!}(t-x)^k-M(t-x)^{n+1}, \] 不难看出\(F^{(k)}(x)=0,k=0,1,\dots,n\)，且\(F(x_0)=0\)，则由Rolle定理，\(\exists x_1\in(x,x_0)\)，使得\(F^{(1)}(x_1)\)。类似地，反复使用Rolle定理，\(\exists\xi\in(x,x_n)\)，使得\(F^{(n+1)}(\xi)=f^{(n+1)}(\xi)-(n+1)!M=0\)，即\(M=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\)。 \(\Box\)

最后，我们结合函数级数给出一个处处连续且处处不可微的实函数。

Theorem 1.2.8 存在处处连续且处处不可微的连续实函数。

• Proof 定义 \[ \phi(x)\coloneqq\begin{cases}|x|,&-1\leq x\leq1,\\ \phi(x+2),&x<-1,\\ \phi(x-2),&x>1. \end{cases} \] 不难看出\(\phi\)在\(\mathbb{R}\)上连续且\(\forall x,y\in\mathbb{R},\lvert\phi(x)-\phi(y)\rvert\leq\lvert x-y\rvert\)。
  定义\(f(x)\coloneqq\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac34\right)^n\phi(4^nx)\)，由\(\phi(x)\in[0,1]\)得\(f\)在\(\mathbb{R}\)上一致收敛，从而\(f\)连续。
  \(\forall x\in\mathbb{R}\)，对任一正整数\(m\)，令\(\delta_m=\pm\frac{1}{2^{2m+1}}\)，其中正负号取使得\((4^mx,4^m(x+\delta_m))\)中不存在整数的符号，注意到\(4^m\delta_m=\frac12\)，所以\(\delta_m\)存在且唯一。
  令\(\alpha_n=\frac{\phi(4^n(x+\delta_m))-\phi(4^nx)}{\delta_m}\)，\(n>m\)时，\(4^n\delta_m\)为偶数，故\(\alpha_n=0\)，而\(n\leq m\)时，\(\lvert\alpha_n\rvert\leq 4^n\)，从而有 \[ \left\lvert\frac{f(x+\delta_m)-f(x)}{\delta _m}\right\rvert=\left\lvert\sum_{n=0}^\infty\left(\frac34\right)^n\alpha_n\right\rvert\geq3^m-\sum_{n=0}^{m-1}3^n=\frac12(3^n+1), \] 这就说明了\(f\)不可微，从而我们构造了一个处处连续且处处不可微的连续实函数。 \(\Box\)

最后给出导数与凸性的关系。

Theorem 1.2.9 设\(f\)在\((a,b)\)上可微，则下述命题等价：
(a) \(f\)是\((a,b)\)上凸函数；
(b) \(f'\)在\((a,b)\)上递增；
(c) \(\forall x,y\in(a,b)\)，\(f(y)\geq f(x)+f'(x)(y-x)\)。

结合导数和凸函数的定义，三个命题之间的互推都是显然的。当\(f'\)在\((a,b)\)上可微时，我们还能导出如下定理。

Theorem 1.2.10 设\(f\)在\((a,b)\)上有二阶导数，则\(f\)在\((a,b)\)上是凸函数当且仅当\(f''(x)\geq0,\forall x\in(a,b)\)。

\(\S1.3\) 方向导数和偏导数

Definition 1.3.1 设开集\(E\subset\mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol f\colon E\to\mathbb{R}^m\)，\(\boldsymbol v\in\mathbb{R}^n\)，对\(\boldsymbol x\in E\)，定义\(\boldsymbol f\)关于\(\boldsymbol v\)的方向导数为\(\frac{\partial\boldsymbol f}{\partial\boldsymbol v}(\boldsymbol x)\coloneqq\lim\limits_{t\to 0}\frac{\boldsymbol f(\boldsymbol x+t\boldsymbol v)-\boldsymbol f(\boldsymbol x)}{t}\)。

Definition 1.3.2 设开集\(E\subset\mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol f\colon E\to\mathbb{R}^m\)，对\(\boldsymbol x\in E\)，定义\(\boldsymbol f\)关于\(x_j\)的偏导为\(\frac{\partial\boldsymbol f}{\partial x_j}(\boldsymbol x)\coloneqq\frac{\partial\boldsymbol f}{\partial\boldsymbol e_j}(\boldsymbol x)\)。

Definition 1.3.3 设开集\(E\subset\mathbb{R}^n\)，\(f\colon E\to\mathbb{R}\)，定义\(f\)在\(\boldsymbol x\in E\)处的梯度为\(n\)维行向量\(\nabla f(\boldsymbol x)\coloneqq(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\boldsymbol x),\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(\boldsymbol x))\)。

事实上，由欧氏空间上函数极限的一些结论，\(\boldsymbol f\)在\(\boldsymbol x\)处关于\(\boldsymbol v\)的方向导数存在，当且仅当其所有分量关于\(\boldsymbol v\)的方向导数存在，且有\(\frac{\partial\boldsymbol f}{\partial \boldsymbol v}(\boldsymbol x)=(\frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol v}(\boldsymbol x),\dots,\frac{\partial f_m}{\partial \boldsymbol v}(\boldsymbol x))\)。即，对一个向量值函数求导，只需对其每一个分量求导。而对于变量为实数的函数，求导和求偏导是一样的。

另外，在某一点可微蕴含了方向导数存在。

Theorem 1.3.1 设开集\(E\subset\mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol f\colon E\to\mathbb{R}^m\)且\(\boldsymbol f\)在\(\boldsymbol x\in E\)可微，则\(\boldsymbol f\)关于\(\boldsymbol v\in\mathbb{R}^n\)在\(\boldsymbol x\)的方向导数存在，且\(\frac{\partial\boldsymbol f}{\partial\boldsymbol v}(\boldsymbol x)=\boldsymbol f'(\boldsymbol x)\boldsymbol v\)。

• Proof 由可微的定义，把\(\boldsymbol h\)限制在\(t\boldsymbol v(t\in\mathbb{R})\)上，即可得到\(\frac{\partial\boldsymbol f}{\partial\boldsymbol v}(\boldsymbol x)=\lim\limits_{t\to0}\frac{\boldsymbol f(\boldsymbol x+t\boldsymbol v)-\boldsymbol f(\boldsymbol x)}{t}=\boldsymbol f'(\boldsymbol x)\boldsymbol v\)。\(\Box\)

Corollary 在上述定理条件下，当\(f\)是实值函数时，\(\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol v}(\boldsymbol x)=\nabla f(\boldsymbol x)\cdot\boldsymbol v\)。

但即使关于\(x_1,\dots,x_n\)的偏导都存在，\(\boldsymbol f\)也可能在\(\boldsymbol x\)处不可微，后文我们会给出在偏导数均连续时的情况。

将\(\boldsymbol f\)用分量形式表示，我们有如下推论。

Corollary 设开集\(E\subset\mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol f\colon E\to\mathbb{R}^m\)且\(\boldsymbol f\)在\(\boldsymbol x\in E\)可微，则\(\boldsymbol f'(\boldsymbol x)\boldsymbol e_j=\sum\limits_{i=1}^m\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\boldsymbol x)\boldsymbol u_i\)。

由该推论，记\(\boldsymbol f'(\boldsymbol x)\)在\(\mathbb{R}^n\)的标准正交基下的矩阵为\([\boldsymbol f'(\boldsymbol x)]\)，则有 \[ [\boldsymbol f'(\boldsymbol x)]=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\boldsymbol x)&\frac{\partial f_1}{\partial x_2}(\boldsymbol x)&\cdots&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\boldsymbol x)\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(\boldsymbol x)&\frac{\partial f_2}{\partial x_2}(\boldsymbol x)&\cdots&\frac{\partial f_2}{\partial x_n}(\boldsymbol x)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\boldsymbol x)&\frac{\partial f_m}{\partial x_2}(\boldsymbol x)&\cdots&\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\boldsymbol x) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial\boldsymbol f}{\partial x_1}(\boldsymbol x)^{\rm T},\frac{\partial\boldsymbol f}{\partial x_2}(\boldsymbol x)^{\rm T},\dots,\frac{\partial\boldsymbol f}{\partial x_n}(\boldsymbol x)^{\rm T}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\nabla f_1(\boldsymbol x)\\\nabla f_2(\boldsymbol x)\\\vdots\\\nabla f_m(\boldsymbol x)\end{pmatrix}. \] Definition 1.3.4 设开集\(E\subset\mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol f\colon E\to\mathbb{R}^m\)且在\(E\)上可微，若\(\boldsymbol f'\)连续，则称\(\boldsymbol f\)在\(E\)上连续可微，记所有这样的映射的集合为\(\mathscr C'(E,\mathbb{R}^m)\)。

Theorem 1.3.2 设开集\(E\subset\mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol f\colon E\to\mathbb{R}^m\)，则\(\boldsymbol f\in \mathscr C'(E,\mathbb{R}^m)\)当且仅当\(\boldsymbol f\)的所有偏导数\(\frac{\partial\boldsymbol f}{\partial x_k},k=1,\dots,n\)都连续。

• Proof 由Theorem 1.3.1可知，对\(k=1,\dots,n\)，\(\frac{\partial\boldsymbol f}{\partial x_k}(\boldsymbol x)=\boldsymbol f'(\boldsymbol x)\boldsymbol e_k\)，从而有 \[ \lvert\frac{\partial\boldsymbol f}{\partial x_k}(\boldsymbol x)-\frac{\partial\boldsymbol f}{\partial x_k}(\boldsymbol y)\rvert\leq\lVert\boldsymbol f'(\boldsymbol x)-\boldsymbol f'(\boldsymbol y)\rVert, \]

  则不难看出当\(\boldsymbol f\in \mathscr C'(E,\mathbb{R}^m)\)时，\(\frac{\partial\boldsymbol f}{\partial x_k}(\boldsymbol x)\)连续。
  对逆命题，由可微的定义可知\(\boldsymbol f\)可微当且仅当其每一个分量都可微，因此我们只需考虑\(m=1\)的实值函数\(f\)。
  任取\(\boldsymbol x\in E\)，\(\forall\varepsilon>0\)，对\(k=1,\dots,n\)，由\(\frac{\partial f}{\partial x_k}\)的连续性及\(E\)是开集可知，\(\exists\delta>0\)，使得\(B_\mathbb{R^n}(\boldsymbol x,\delta)\subset E\)，且\(\forall \boldsymbol y\in B_\mathbb{R^n}(\boldsymbol x,\delta),|\frac{\partial f}{\partial x_k}(\boldsymbol x)-\frac{\partial f}{\partial x_k}(\boldsymbol y)|<\frac\varepsilon n\)。任取满足\(|\boldsymbol h|<\delta\)的\(\boldsymbol h=(h_1,\dots,h_n)\)，令\(\boldsymbol v_0=\boldsymbol 0\)，\(\boldsymbol v_k=\sum\limits_{i=1}^k h_i\boldsymbol e_i,k=1,\dots,n\)，则有\(\lvert\boldsymbol v_k\rvert\leq\vert\boldsymbol h\rvert<\delta\)及 \[ f(\boldsymbol x+\boldsymbol h)-f(\boldsymbol x)=\sum\limits_{k=1}^n[f(\boldsymbol x+\boldsymbol v_k)-f(\boldsymbol x+\boldsymbol v_{k-1})]. \] 对所有\(k=1,\dots,n\)，由\(B_\mathbb{R^n}(\boldsymbol x,\delta)\)是凸集，则\(\boldsymbol x+\boldsymbol v_{k-1}+th_k\boldsymbol e_j,t\in[0,1]\)恒在\(B_\mathbb{R^n}(\boldsymbol x,\delta)\)中。令\(g_k(t)=f(\boldsymbol x+\boldsymbol v_{k-1}+th_k\boldsymbol e_k),t\in[0,1]\)，不难看出\(g_k\)对\(t\)求导即\(f\)对\(x_k\)求偏导，则由中值定理可以得到 \[ f(\boldsymbol x+\boldsymbol v_k)-f(\boldsymbol x+\boldsymbol v_{k-1})=h_k\frac{\partial f}{\partial x_k}(\boldsymbol x+\boldsymbol v_{k-1}+\theta_kh_k\boldsymbol e_k), \] 其中\(\theta_k\in(0,1)\)。
  又有\(\lvert \frac{\partial f}{\partial x_k}(\boldsymbol x+\boldsymbol v_{k-1}+\theta_kh_k\boldsymbol e_k)-\frac{\partial f}{\partial x_k}(\boldsymbol x)\rvert<\frac\varepsilon n\)，则对任意满足\(\lvert\boldsymbol h\rvert<\delta\)的\(\boldsymbol h\)，都有 \[ \lvert f(\boldsymbol x+\boldsymbol h)-f(\boldsymbol x)-\sum\limits_{k=1}^nh_k\frac{\partial f}{\partial x_k}(\boldsymbol x)\rvert\leq\frac1 n\sum_{k=1}^n\lvert h_k\rvert\varepsilon\leq\lvert\boldsymbol h\rvert\varepsilon, \] 即\(f\)在\(\boldsymbol x\)处可微，且\(f'(\boldsymbol x)=(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\boldsymbol x),\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(\boldsymbol x))\)，由其每一个分量都是连续函数得\(f\in \mathscr C'(E,\mathbb{R})\)。 \(\Box\)

Theorem 1.3.3 设凸开集\(E\subset\mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol f\colon E\to\mathbb{R}^m\)，若\(\boldsymbol f\)在\(E\)上可微且存在实数\(M\)，使得\(\lVert\boldsymbol f'(\boldsymbol x)\rVert\leq M,\forall\boldsymbol x\in E\)，则\(\forall\boldsymbol x,\boldsymbol y\in E,\lvert\boldsymbol f(\boldsymbol x)-\boldsymbol f(\boldsymbol y)\rvert\leq M\lvert\boldsymbol x-\boldsymbol y\rvert\)。

• Proof 对任意\(\boldsymbol x,\boldsymbol y\in E\)，令\(\boldsymbol g(t)=\boldsymbol f((1-t)\boldsymbol x+t\boldsymbol y),t\in[0,1]\)，有\(\boldsymbol g'(t)=\boldsymbol f'((1-t)\boldsymbol x+t\boldsymbol y)(\boldsymbol y-\boldsymbol x)\)，则\(\lvert\boldsymbol g'(t)\rvert=\lVert\boldsymbol f'((1-t)\boldsymbol x+t\boldsymbol y)\rVert\lvert(\boldsymbol y-\boldsymbol x)\rvert\leq M\lvert\boldsymbol x-\boldsymbol y\rvert,\forall t\in[0,1]\)。
  令 \[ \boldsymbol v=\boldsymbol g(1)-\boldsymbol g(0)=\boldsymbol f(\boldsymbol x)-\boldsymbol f(\boldsymbol y),h(t)=\boldsymbol v\cdot\boldsymbol g(t),t\in[0,1], \] 则由中值定理，有\(h(1)-h(0)=h'(\theta)=\boldsymbol v\cdot\boldsymbol g'(\theta)\)。又有\(h(1)-h(0)=\boldsymbol v\cdot\boldsymbol v\)，则\(\lvert\boldsymbol v\rvert^2=\lvert\boldsymbol v\cdot\boldsymbol g'(\theta)\rvert\leq\lvert\boldsymbol v\rvert\lvert\boldsymbol g'(\theta)\rvert\)，即\(\lvert\boldsymbol f(\boldsymbol x)-\boldsymbol f(\boldsymbol y)\rvert\leq\lvert\boldsymbol g'(\theta)\rvert\leq M\lvert\boldsymbol x-\boldsymbol y\rvert\)。 \(\Box\)

二、反函数与隐函数

接着我们将前文讨论的多元微分运用在反函数和隐函数上，在此之前我们先给出压缩映射定理这一工具，再以此证明反函数定理与隐函数定理。

\(\S2.1\) 压缩映射

Definition 2.1.1 设\((X,d)\)是度量空间，\(\varphi\colon X\to X\)，若存在\(c<1\)，\(\forall x,y\in X\)，有\(d(\varphi(x),\varphi(y))<cd(x,y)\)，则称\(\varphi\)是\(X\)上的一个压缩映射。

Remark 由压缩映射的定义不难看出，\(\varphi\)是一致连续的。

Theorem 2.1.1(压缩映射定理) 设\((X,d)\)是完备度量空间，\(\varphi\)是\(X\)上的一个压缩压缩，则存在唯一一点\(x\in X\)，使得\(\varphi(x)=x\)。

• Proof 任取\(x_0\in X\)，由\(x_{n+1}=\varphi(x_n)\)递归构造序列\(\{x_n\}\)，选取满足压缩映射条件的\(c(<1)\)，有 \[ d(x_{n+1},x_n)=d(\varphi(x_n),\varphi(x_{n-1}))\leq cd(x_n,x_{n-1}),\forall n\in\mathbb{N^+}, \] 即\(d(x_{n+1},x_n)\leq c^nd(x_1,x_0)\)。则对任意\(n>m\)，有 \[ d(x_n,x_m)\leq\sum\limits_{k=m}^{n-1}d(x_{k},x_{k+1})\leq\sum\limits_{k=m}^{n-1}c^kd(x_0,x_1)\leq\frac{c^n}{1-c}d(x_1,x_0). \] 则不难看出\(\{x_n\}\)是Cauchy序列，因此可设\(\{x_n\}\)收敛于\(x\)。
  又由\(\varphi\)连续，\(\varphi(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\varphi(x_n)=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=x\)。 \(\Box\)

Remark 如果\((X,d)\)不是完备的，则至多有一点\(x\in X\)，使得\(\varphi(x)=x\)。

\(\S2.2\) 反函数定理

先不加证明地给出两个线性代数中的引理。

Lemma 2.2.1 设\(\Omega\)是\(L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)\)中的所有可逆线性映射，若\(A\in\Omega\)，\(B\in L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)\)且\(\lVert B-A\rVert\cdot\lVert A^{-1}\rVert<1\)，则\(B\in\Omega\)。

Lemma 2.2.2 设\(\Omega\)是\(L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)\)中的所有可逆线性映射，则\(f\colon \Omega\to\Omega,A\mapsto A^{-1}\)是连续的。

接下来，我们将使用上述两个引理和压缩映射定理证明反函数定理。

Theorem 2.2.1(反函数定理) 设开集\(E\subset\mathbb{R}^n\)，\(\boldsymbol f\in \mathscr C'(E,\mathbb{R}^n)\)，且对\(\boldsymbol a\in E\)，\(\boldsymbol f'(\boldsymbol a)\)可逆，令\(\boldsymbol b=\boldsymbol f(\boldsymbol a)\)，则存在\(\mathbb{R}^n\)上的开集\(U\)和\(V\)满足\(\boldsymbol a\in U\)及\(\boldsymbol b\in V\)，使得\(\boldsymbol f\)是把\(U\)映入\(V\)的双射，且\(\boldsymbol f^{-1}\in \mathscr C'(V,U)\)。

• Proof 令\(A=\boldsymbol f'(\boldsymbol a)\)，取\(R=\frac1{2\lVert A^{-1}\rVert}\)，由\(\boldsymbol f'\)在\(\boldsymbol a\)连续，存在以\(\boldsymbol a\)为中心的开球\(U\subset E\)，使得 \[ \lVert \boldsymbol f'(\boldsymbol x)-A\rVert<R,\forall \boldsymbol x\in U.\tag{1}\label{9:1} \] 对任一\(\boldsymbol y\in\mathbb{R}^n\)，令\(\phi_{\boldsymbol y}(\boldsymbol x)=\boldsymbol x+A^{-1}(\boldsymbol y-\boldsymbol f(\boldsymbol x))\)，不难看出\(\boldsymbol f(\boldsymbol x)=\boldsymbol y\)当且仅当\(\phi_{\boldsymbol y}(\boldsymbol x)=\boldsymbol x\)。
  又由\(\phi_{\boldsymbol y}'(\boldsymbol x)=I-A^{-1}\boldsymbol f'(\boldsymbol x)=A^{-1}(A-\boldsymbol f'(\boldsymbol x))\)，有\(\lVert \phi_{\boldsymbol y}'(\boldsymbol x)\rVert\leq \lVert A^{-1}\rVert\lVert(A-\boldsymbol f'(\boldsymbol x))\rVert<\frac12\)，由Theorem 1.3.3得 \[ \lvert\phi_{\boldsymbol y}(\boldsymbol x_1)-\phi_{\boldsymbol y}(\boldsymbol x_1)\rvert\leq\frac12\lvert\boldsymbol x_1-\boldsymbol x_2\rvert,\forall \boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2\in U.\tag{2}\label{9:2} \] 从而至多有一个点\(\boldsymbol x\in U\)，使得\(\boldsymbol f(\boldsymbol x)=\boldsymbol y\)，即\(\boldsymbol f\)是单射。
  令\(V=\boldsymbol f(U)\)，接着来证明\(V\)是开集。任取\(\boldsymbol y_0\in V\)，则存在唯一一个\(\boldsymbol x_0\in U\)，使得\(\boldsymbol f(\boldsymbol x_0)=\boldsymbol y_0\)。取一个以\(\boldsymbol x_0\)为中心，半径\(r\)充分小的开球\(B\)，使得\(\bar B\subset U\)。任取开球\(B_V(\boldsymbol y_0,Rr)\)中的一个点\(\boldsymbol y\)，有 \[ \lvert\phi_{\boldsymbol y}(\boldsymbol x_0)-\boldsymbol x_0\rvert=\lvert A^{-1}(\boldsymbol y-\boldsymbol y_0)\rvert<\lVert A^{-1}\rVert Rr=\frac r2. \] 当\(\boldsymbol x\in\bar B\)时，结合\(\eqref{9:2}\)式， \[ \lvert\phi_{\boldsymbol y}(\boldsymbol x)-\boldsymbol x_0\rvert\leq\lvert\phi_{\boldsymbol y}(\boldsymbol x)-\phi_{\boldsymbol y}(\boldsymbol x_0)\rvert+\lvert\phi_{\boldsymbol y}(\boldsymbol x_0)-\boldsymbol x_0\rvert<\frac12\lvert\boldsymbol x-\boldsymbol x_0\rvert+\frac r2\leq r. \] 从而有\(\phi_{\boldsymbol y}(\boldsymbol x)\in B\)，即\(\phi_{\boldsymbol y}\)是\(\bar B\)上的一个压缩映射，从而存在唯一一点\(\boldsymbol x\in\bar B\)，使得\(\boldsymbol f(\boldsymbol x)=\boldsymbol y\)，即\(\boldsymbol y\in\boldsymbol f(\bar B)\subset\boldsymbol f(U)=V\)，这就证明了\(V\)是开集。
  接着，我们证明\(\boldsymbol f^{-1}\in \mathscr C'(V,U)\)。任取\(\boldsymbol y\in V\)和充分小的\(\boldsymbol k\)使得\(\boldsymbol y+\boldsymbol k\in V\)，则存在\(\boldsymbol x,\boldsymbol x+\boldsymbol h\in U\)，使得\(\boldsymbol f(\boldsymbol x)=\boldsymbol y\)及\(\boldsymbol f(\boldsymbol x+\boldsymbol h)=\boldsymbol y+\boldsymbol k\)，从而\(\phi_{\boldsymbol y}(\boldsymbol x+\boldsymbol h)-\phi_{\boldsymbol y}(\boldsymbol x)=\boldsymbol h-A^{-1}\boldsymbol k\)。结合\(\eqref{9:2}\)式，有\(\lvert h-A^{-1}\boldsymbol k\rvert\leq\frac12\lvert\boldsymbol h\rvert\)，即\(\lvert A^{-1}\boldsymbol k\rvert\geq\frac12\lvert\boldsymbol h\rvert\)，从而有 \[ \lvert\boldsymbol h\rvert\leq2\lVert A^{-1}\rVert\lvert\boldsymbol k\rvert=\frac{\lvert\boldsymbol k\rvert}{R}.\tag{3}\label{9:3} \] 结合\(\eqref{9:1}\)式及Lemma 2.2.1，\(\boldsymbol f'(\boldsymbol x)\)可逆，有 \[ \boldsymbol f^{-1}(\boldsymbol y+\boldsymbol k)-\boldsymbol f^{-1}(\boldsymbol y)-\boldsymbol f'(\boldsymbol x)^{-1}\boldsymbol k=-\boldsymbol f'(\boldsymbol x)^{-1}[\boldsymbol f(\boldsymbol x+\boldsymbol h)-\boldsymbol f(\boldsymbol x)-\boldsymbol f'(\boldsymbol x)\boldsymbol h], \] 代入\(\eqref{9:3}\)，有 \[ \frac{\lvert\boldsymbol f^{-1}(\boldsymbol y+\boldsymbol k)-\boldsymbol f^{-1}(\boldsymbol y)-\boldsymbol f'(\boldsymbol x)^{-1}\boldsymbol k\rvert}{\lvert\boldsymbol k\rvert}\leq\frac{\lVert\boldsymbol f'(\boldsymbol x)^{-1}\rVert}{R}\cdot\frac{\lvert\boldsymbol f(\boldsymbol x+\boldsymbol h)-\boldsymbol f(\boldsymbol x)-\boldsymbol f'(\boldsymbol x)\boldsymbol h\rvert}{\lvert\boldsymbol h\rvert}. \] 由\(\boldsymbol f\)的可微性可以看出\(\boldsymbol f^{-1}\)也可微，且\((\boldsymbol f^{-1})'(\boldsymbol y)=\{\boldsymbol f'(\boldsymbol f^{-1}(\boldsymbol y))\}^{-1}\)，则\(\boldsymbol f^{-1}\)是连续的，结合\(\boldsymbol f'\)连续及Lemma 2.2.2，\((\boldsymbol f^{-1})'\)也是连续的，从而\(\boldsymbol f^{-1}\in \mathscr C'(V,U)\)。 \(\Box\)

\(\S2.3\) 隐函数定理

现在，我们利用反函数定理来证明隐函数定理。先给出三个线性代数中的引理。

Lemma 2.3.1 设\(V\)和\(W\)是线性空间，\(A\in L(V,W)\)，则\(A\)是单射当且仅当\({\rm Ker}A\)中只有零元。

Lemma 2.3.2 设\(V\)和\(W\)是线性空间，\(A\in L(V,W)\)，则\(A\)是双射当且仅当\(A\)是单射。

Lemma 2.3.3 设\(A\in L(\mathbb{R}^{n+m},\mathbb{R}^n)\)，对任意\(\boldsymbol h\in\mathbb{R}^n\)和\(\boldsymbol k\in\mathbb{R}^m\)，定义\(A_x\boldsymbol h\coloneqq A(\boldsymbol h,\boldsymbol 0)\)及\(A_y\boldsymbol k=A(\boldsymbol 0,\boldsymbol k)\)，则有\(A_x\in L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n),A_y\in L(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n)\)和\(A(\boldsymbol h,\boldsymbol k)=A_x\boldsymbol h+A_y\boldsymbol k\)。

Theorem 2.3.1(隐函数定理) 设开集\(E\in\mathbb{R}^{n+m}\)，\(\boldsymbol f\in \mathscr C'(E,\mathbb{R}^n)\)，且在\((\boldsymbol a,\boldsymbol b)\in E\)，\(\boldsymbol f(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=\boldsymbol 0\)。令\(A=\boldsymbol f'(\boldsymbol a,\boldsymbol b)\)，\(A_x\)与\(A_y\)同Lemma 2.3.3定义，若\(A_x\)可逆，则存在开集包含\((\boldsymbol a,\boldsymbol b)\)的\(U\subset\mathbb{R}^{n+m}\)和包含\(\boldsymbol b\)的开集\(V\subset\mathbb{R}^m\)，恰有唯一的函数\(\boldsymbol g\)，使得\(\boldsymbol f(\boldsymbol g(\boldsymbol y),\boldsymbol y)=\boldsymbol 0,\forall\boldsymbol y\in V\)且\(\boldsymbol g\in \mathscr C'(V,\mathbb{R}^n)\)，其中\(\boldsymbol g'(\boldsymbol b)=-(A_x)^{-1}A_y\)。

• Proof 定义\(\boldsymbol F\colon E\to\mathbb{R}^{n+m},(\boldsymbol x,\boldsymbol y)\mapsto(\boldsymbol f(\boldsymbol x,\boldsymbol y),\boldsymbol y)\)，显然\(\boldsymbol F\in \mathscr C'(E,\mathbb{R}^{n+m})\)，我们先证明\(\boldsymbol F'(\boldsymbol a,\boldsymbol b)\)可逆。
  令\(\boldsymbol r(\boldsymbol h,\boldsymbol k)=\boldsymbol f(\boldsymbol a+\boldsymbol h,\boldsymbol b+\boldsymbol k)-A(\boldsymbol h,\boldsymbol k)\)，由\(\boldsymbol f(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=\boldsymbol 0\)及 \[ \boldsymbol F(\boldsymbol a+\boldsymbol h,\boldsymbol b+\boldsymbol k)-\boldsymbol F(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=(A(\boldsymbol h,\boldsymbol k),\boldsymbol k)+(\boldsymbol r(\boldsymbol h,\boldsymbol k),\boldsymbol 0), \] 可以看出\(\boldsymbol F'(\boldsymbol a,\boldsymbol b)\)是把\((\boldsymbol h,\boldsymbol k)\)映成\((A(\boldsymbol h,\boldsymbol k),\boldsymbol k)\)的线性映射，若\((\boldsymbol h,\boldsymbol k)\)被映成\(\boldsymbol 0\)，则\(\boldsymbol k=\boldsymbol 0\)且\(A(\boldsymbol h,\boldsymbol 0)=\boldsymbol 0\)，由Lemma 2.3.3，\(\boldsymbol h=\boldsymbol 0\)，又由Lemma 2.3.1、2.3.2，\(\boldsymbol F'(\boldsymbol a,\boldsymbol b)\)是双射，则其可逆。
  接着，由反函数定理，存在\(\mathbb{R}^{n+m}\)中的包含\((\boldsymbol a,\boldsymbol b)\)的开集\(U\)和包含\((\boldsymbol 0,\boldsymbol b)\)的开集\(W\)，使\(\boldsymbol F\)是把\(U\)映入\(W\)的双射。取\(V=\{\boldsymbol y\in\mathbb{R}^m\colon (\boldsymbol 0,\boldsymbol y)\in W\}\)，显然\(V\)也是开集，另外，由\(\boldsymbol F\)定义及其在\(U\)上是双射可知，存在\(\boldsymbol x\in U\)，使得\(\boldsymbol F(\boldsymbol x,\boldsymbol y)=(\boldsymbol 0,\boldsymbol y)\)，即\(\boldsymbol f(\boldsymbol x,\boldsymbol y)=\boldsymbol 0\)，且不难看出这个\(\boldsymbol x\)是唯一的，这就证明了存在唯一的函数\(\boldsymbol g\)满足\(\boldsymbol f(\boldsymbol g(\boldsymbol y),\boldsymbol y)=\boldsymbol 0,\forall\boldsymbol y\in V\)。
  下面证明\(\boldsymbol g\in \mathscr C'(V,\mathbb{R}^n)\)。由上述可知\(\boldsymbol F^{-1}(\boldsymbol 0,\boldsymbol x)=(\boldsymbol g(\boldsymbol x),\boldsymbol x)\)。对\(\boldsymbol x\in V\)和\(k=1,\dots,m\)，注意到\(\frac{\partial\boldsymbol F^{-1}}{\partial\boldsymbol x_{n+k}}(\boldsymbol 0,\boldsymbol x)=(\frac{\partial\boldsymbol g}{\partial\boldsymbol x_k}(\boldsymbol x),\boldsymbol e_k)\)，结合反函数定理，\(\boldsymbol F^{-1}\in \mathscr C'(W,U)\)，从而\(\boldsymbol g\in \mathscr C'(V,\mathbb{R}^n)\)。
  最后，我们证明\(\boldsymbol g'(\boldsymbol b)=-(A_x)^{-1}A_y\)。令\(\boldsymbol G(\boldsymbol x)=(\boldsymbol g(\boldsymbol x),\boldsymbol x)\)，不难证明\(\boldsymbol G'(\boldsymbol x)\)是把\(\boldsymbol h\)映入\((\boldsymbol g'(\boldsymbol x)\boldsymbol h,\boldsymbol h)\)的线性映射。由于在\(V\)上\(\boldsymbol f(\boldsymbol g(\boldsymbol x),\boldsymbol x)=0\)恒成立，从而\(\boldsymbol f(\boldsymbol G(\boldsymbol x))=0\)。由链式求导，\(\boldsymbol f'(\boldsymbol G(\boldsymbol x))\boldsymbol G'(\boldsymbol x)=0\)，注意到\(\boldsymbol G(\boldsymbol b)=(\boldsymbol a,\boldsymbol b)\)，则\(A\boldsymbol G'(\boldsymbol b)\)是零映射，再结合Lemma 2.3.3， \[ A\boldsymbol G'(\boldsymbol b)\boldsymbol h=A(\boldsymbol g'(\boldsymbol b)\boldsymbol h,\boldsymbol h)=A_x\boldsymbol g'(\boldsymbol b)\boldsymbol h+A_y\boldsymbol h=\boldsymbol 0, \] 即\(\boldsymbol g'(\boldsymbol b)=-(A_x)^{-1}A_y\)。 \(\Box\)