分析学笔记(10)Riemann积分与容度

如果让我一定要将一些内容划分成数学分析和实分析的话，那我会选择按他们所基于的“测度”来划分，即基于Jordan容度定义Riemann积分和基于Lebesgue测度定义Lebesgue积分。因此，我把这篇作为分析学笔记第一部分的最后一篇，其主要内容即为Jordan容度和Riemann积分。并且，本篇将会阐明：Lebesgue积分的完备性，绝对不是由分割值域代替分割定义域造成的，我们完全可以基于Jordan容度和分割值域给出一个Riemann积分的等价定义。而对于Riemann积分，笔记里只给出一些基本的性质，不做太多讨论了。

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一、Jordan容度

事实上，容度也可以发展出一套完整的理论，不过这里只是为Riemann积分服务，因此只介绍Jordan容度。

\(\S1.1\) 集类与Jordan容度

Definition 1.1.1 对集合\(X\)，\(2^X\)的一个子集\(\Omega\)称为\(X\)的一个环，若\(\Omega\)满足
(a) 若\(A,B\in\Omega\)，则\(A\backslash B\in\Omega\)；
(b) 若\(A,B\in\Omega\)，则\(A\cup B\in\Omega\)。

Definition 1.1.2 对集合\(X\)，设\(\Omega\)是\(X\)的一个环，若\(X\in\Omega\)，则称\(\Omega\)是\(X\)的一个代数。

Definition 1.1.3 对集合\(X\)，\(2^X\)的一个子集\(\Omega\)称为\(X\)的一个\(\sigma\)-环，若\(\Omega\)满足
(a) 若\(A,B\in\Omega\)，则\(A\backslash B\in\Omega\)；
(b) 若\(\{A_n\}\in\Omega\)，则\(\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\in\Omega\)。

Definition 1.1.4 对集合\(X\)，设\(\Omega\)是\(X\)的一个\(\sigma\)-环，若\(X\in\Omega\)，则称\(\Omega\)是\(X\)的一个\(\sigma\)-代数。

取一个集列为任意两个集合和剩下的均为空集，即可验证\(\sigma\)-代数是一个代数。

Definition 1.1.5 任给\(a_1,a_2,\dots,a_n\)与\(b_1,b_2,\dots,b_n\)满足\(a_i\leq b_i,i=1,2,\dots,n\)，称\(I=\prod\limits_{i=1}^n[a_i,b_i]\)为\(\mathbb{R}^n\)上的一个矩体，定义其体积\(S(I)\coloneqq\prod\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)\)。任取有限个开核互不相交的矩体，设为\(I_1,\dots,I_m\)，称\(Q=\bigcup\limits_{i=1}^mI_i\)为简单图形，定义其体积\(S(Q)\coloneqq\sum\limits_{i=1}^m S(I_i)\)。特殊地，空集也被称作简单图形，定义\(|\emptyset|=0\)。

对于两个简单图形，很容易看出它们的交并仍是简单图形，以及可以看出简单图形都是有界闭集。

另外对于两个简单图形的差，我们易得如下结论。

Theorem 1.1.1 设\(E,F\)是简单图形，则\(G=F\backslash\mathring E\)是简单图形，若还有\(E\subset F\)，则\(S(G)=S(F)-S(E)\)。

Definition 1.1.6 设\(E\subset\mathbb{R}^n\)有界，记\(\mathbb{R}^n\)上的所有简单图形集合为\(P\)，定义\(E\)的\(n\)维Jordan外容度为\(J^*E\coloneqq\inf\limits_{Q\in P,E\subset Q}S(Q)\)，\(n\)维Jordan内容度为\(J_*E\coloneqq\sup\limits_{Q\in P,Q\subset E}S(Q)\)。若\(J_*E=J^*E\)，则称\(E\)是\(n\)维Jordan可容的（称为\(n\)维可容集），定义其\(n\)维Jordan容度\(J(E)\coloneqq J^*(E)=J_*(E)\)。称\(n\)维Jordan容度为\(0\)的集合为\(n\)维零容集。

Remark 毕竟Jordan容度并不是测度，这一部分也只是为了反映Riemann积分和Lebesgue积分所依的测度基础的区别，所以创造了“可容”之类的词暂时过渡一下。另外，要注意的是，我们在讨论容度时只考虑有界集。为了简便表述，下文中若不会引起歧义，则不强调容度的维度。

\(\S1.2\) Jordan容度的性质

接着我们给出一些Jordan容度的基本性质，可以看出Jordan容度是符合我们对“面积”、“体积”等概念的直觉的。本节中我们默认讨论的是\(\mathbb{R}^n\)上的Jordan容度（自然地，若说某集合可容，即是该集合是\(\mathbb{R}^n\)上的可容集）。

首先给出一个Jordan可容的判定方法。

Lemma 1.2.1 设\(E\subset\mathbb{R}^n\)有界，记\(\mathbb{R}^n\)上的所有简单图形集合为\(P\)，则\(J_*(E)=\sup\limits_{Q\in P,Q\subset\mathring E}S(Q)\)，\(J^*(E)=\inf\limits_{Q\in P,\bar{E}\subset\mathring Q}S(Q)\)。

• Proof \(J^*(E)\leq\inf\limits_{Q\in P,\bar{E}\subset\mathring Q}S(Q)\)是显然的。\(\forall\varepsilon>0\)，取\(Q\in P\)满足\(E\subset Q\)且\(S(Q)<J^*(E)+\frac\varepsilon2\)，不妨设\(Q\)为开核不相交的一组矩体\(I_1,\dots,I_m\)之并，其中\(I_k=\prod\limits_{i=1}^n[a_{k,i},b_{k,i}],k=1,\dots,m\)。令\(d_{k,i}=b_{k,i}-a_{k,i}\)，取\(D=\max\{d_{k,i}:i=1,\dots,n,k=1,\dots,m\}\)，\(\delta=\sqrt[n]{D^n+\frac\varepsilon{2m}}-D\)。对任一矩体\(I_k\)，令\(K_k=\prod\limits_{i=1}^n[a_{k,i}-\frac\delta2,b_{k,i}+\frac\delta2]\)，有 \[ \begin{align*} S(K_k)-S(I_k)&=\prod\limits_{i=1}^n(d_{k,i}+\delta)-\prod\limits_{i=1}^nd_{k,i}\\ &\leq(D+\delta)^n-D^n\\ &\leq\frac\varepsilon{2m}, \end{align*} \] 令\(R=\bigcup\limits_{i=1}^m K_i\)，易见\(R\)是简单图形及\(E\subset Q\subset\mathring{R}\)，且有\(S(R)\leq\sum\limits_{i=1}^mS(K_i)\leq\sum\limits_{i=1}^mS(I_i)+\frac\varepsilon2<J^*(E)+\varepsilon\)，由\(\varepsilon\)任意性得\(J^*(E)\geq\inf\limits_{Q\in P,\bar{E}\subset\mathring Q}S(Q)\)，即\(J^*(E)=\inf\limits_{Q\in P,\bar{E}\subset\mathring Q}S(Q)\)。同理可证\(J_*(E)=\sup\limits_{Q\in P,Q\subset\mathring E}S(Q)\)。 \(\Box\)

Theorem 1.2.1 设\(E\subset\mathbb{R}^n\)有界，则\(J^*(\partial E)=J^*(E)-J_*(E)\)。

• Proof \(\forall\varepsilon>0\)，由Lemma 1.2.1，取简单图形\(Q,R\)满足\(Q\subset \mathring E\subset \bar E\subset R\)且\(S(R)<J^*(E)+\frac\varepsilon2\)，\(S(Q)>J_*(E)-\frac\varepsilon2\)，取\(K=R\backslash\mathring Q\)，由\(\bar E=\mathring E\cup\partial E\)，\(K\)是包含了\(\partial E\)的简单图形，且\(S(K)=S(R)-S(Q)<J^*(E)-J_*(E)+\varepsilon\)，则由\(\varepsilon\)任意性，\(J^*(\partial E)\leq J^*(E)-J_*(E)\)。

  任取简单图形\(U,V\)满足\(\bar{\partial E}\subset\mathring U,\bar E\subset \mathring V\)，令\(W=V\backslash\mathring{U}\)，显然\(W\)是简单图形，不妨设其为开核不相交的矩体\(I_1,\dots,I_m\)之并，易见每个矩体中只有\(E\)的内点和外点，接着我们来证明这些矩体中要么只有\(E\)的内点，要么只有\(E\)的外点。

  假设上述的某一个矩体\(I_k\)中既有\(E\)的内点又有\(E\)的外点，任取\(E\)的内点\(x\)和\(E\)的外点\(y\)，显然有\(\{(1-t)x+ty:t\in[0,1]\}\in I_k\)。令 \[ t_0=\sup\{t:(1-t)x+ty\in\mathring E\},z=(1-t_0)x+t_0. \] 若\(z\)是\(E\)的内点，则\(t\neq 1\)。\(\forall\varepsilon>0\)，取\(t_1=\min\{1,t_0+\frac\varepsilon{2(|x|+|y|)}\}\)，有\((1-t_1)x+t_1y\)为\(E\)的外点且在\(U(t_0,\varepsilon)\)中，则\(z\in\partial E\)。若\(z\)是\(E\)的外点，则\(t\neq 0\)。\(\forall\varepsilon>0\)，取\(t_2=\max\{0,t_0-\frac\varepsilon{2(|x|+|y|)}\}\)，有\((1-t_2)x+t_2y\)为\(E\)的外点且在\(U(t_0,\varepsilon)\)中，则\(z\in\partial E\)。这都与\(I_k\)中只有\(E\)的内点和外点矛盾，因此\(I_k\)要么只有\(E\)的内点，要么只有\(E\)的外点。

  由此，令\(W'=\bigcup\limits_{I_k\subset\mathring E}I_k\)，显然这不可能是空集，且\(W'\cup U\)是包含了\(E\)的简单图形（因为\(W\cup U\)包含了\(E\)，而删去的矩体中只有\(E\)的外点）及\(W'\cap U=\emptyset\)，则\(S(U)=S(W'\cup U)-S(W')\)。再结合\(U\)的任意性，有\(J^*(\partial E)\geq J^*(E)-J_*(E)\)，因此\(J^*(\partial E)=J^*(E)-J_*(E)\)。 \(\Box\)

由上述定理可以直接导出一个可容的判定定理。

Theorem 1.2.2 设\(E\subset\mathbb{R}^n\)有界，则\(E\)可容当且仅当\(J(\partial E)=0\)。

Corollary 若\(E\)有界可容，则\(\bar E,\mathring E\)可容。

接着我们讨论Jordan可容集在集合运算下的性质。

Theorem 1.2.3 设\(E\subset F\subset\mathbb{R}^n\)有界，则\(J^*(E)\leq J^*(F)\)且\(J_*(E)\leq J_*(F)\)。

由定义，这个定理是显然的，并且不难看出在\(E,F\)均可容时，有\(J(E)\leq J(F)\)，由此易得下述结论。

Theorem 1.2.4 设\(E\)为零容集，则其子集均为零容集。

Theorem 1.2.5 有限个零容集之并仍为零容集。

• Proof 设\(E_1,\dots,E_m\)为零容集，则\(\forall\varepsilon>0\)，对每个\(E_i,i=1,\dots,m\)，存在一个简单图形\(Q_i\supset E_i\)且\(S(Q_i)<\frac\varepsilon m\)，令\(Q=\bigcup\limits_{i=1}^m Q_i,E=\bigcup\limits_{i=1}^m E_i\)，则\(Q\supset E\)且\(S(Q)\leq\sum\limits_{i=1}^mS(Q_i)<\varepsilon\)。由\(\varepsilon\)任意性，\(J(E)=0\)。 \(\Box\)

Theorem 1.2.6 设\(E,F\)可容，则\(E\cup F\)可容，若\(\mathring E\cap \mathring F=\emptyset\)，则\(J(E\cup F)=J(E)+J(F)\)。

• Proof 由界点的定义可以看出\(\partial(E\cup F)\subset(\partial E\cup\partial F)\)，再结合Theorem 1.2.2和1.2.5，该定理是显然的。 \(\Box\)

Lemma 1.2.2 设\(E\)可容，\(F\)是一个矩体且\(E\subset F\)，则\(F\backslash E\)可容。

• Proof 设\(G\)为\(F\)的外点集合，\(H=\mathring F\backslash\bar E\)，\(K=\partial F\cup\partial E\)，则\(G\cup H\cup K\cup\mathring E=\mathbb{R}^n\)且它们之间互不相交。考虑\(\partial(F\backslash E)\)中的点，显然不会是\(G\)和\(\mathring E\)中的点，而\(H\subset F\backslash E\)，且\(H=\mathring F\cap\bar E^c\)是开集，则\(H\)中每一点都是\(F\backslash E\)中的内点，由此可见\(\partial(F\backslash E)\subset(\partial E\cup\partial F)\)，因此\(F\backslash E\)可容。

Theorem 1.2.7 设\(E,F\)可容，则\(E\backslash F\)和\(E\cap F\)均可容。

• Proof 取一个包含了\(E\cup F\)的矩体\(G\)，由\(E\cap F=G\backslash[(G\backslash E)\cup(G\backslash F)]\)及Theorem 1.2.6和Lemma 1.2.2，\(E\cap F\)是可容的。由\(E\backslash F=E\cap(G\backslash F)\)，\(E\backslash F\)也是可容的。

Corollary 由\(E\subset F\)时\((F\backslash E)\cup E=F\)，得\(E\subset F\)且\(E,F\)可容时\(J(F\backslash E)=J(F)-J(E)\)。

对于Theorem 1.2.6、1.2.7，归纳易得多个集合时也是成立的。

可以看出，所有可容集构成一个环，但并不是\(\sigma\)-代数，这也是Jordan容度不能被称为测度的原因。

Theorem 1.2.8 设\(E\subset\mathbb R^n\)有界，则\(F=\{(\boldsymbol x,0)\colon\boldsymbol x\in E\}\)是\(n+1\)维零容集。

• Proof 由\(E\)有界，必存在\(\mathbb{R}^n\)上的矩体\(I\)包含\(E\)，设\(I\)在\(\mathbb{R}^n\)上的体积为\(s\)。\(\forall\varepsilon>0\)，\(I'=I\times[-\frac\varepsilon{2s},\frac\varepsilon{2s}]\)是覆盖\(F\)的矩体，且\(I'\)在\(\mathbb{R}^{n+1}\)上的体积为\(\varepsilon\)，则由\(\varepsilon\)任意性得\(F\)是\(n+1\)维零容集。 \(\Box\)

二、Riemann积分

本章中，我们使用Jordan容度定义\(\mathbb{R}^n\)上的Riemann积分，并给出一些重要性质。另外，下文将会引用论文[1]中的几个结论，说明我们完全可以用定义\(\mathbb{R}^n\)上的Lebesgue积分的方式去定义Riemann积分，这反映了Riemann积分与Lebesgue积分的本质区别在于基于容度还是测度而不是分割定义域还是值域。同样地，我们默认在\(\mathbb{R}^n\)上进行讨论，并使用\(\mathbb{R}^n\)上的Jordan容度。

PS：很奇怪的一点，我翻了很多数学分析教材（莫斯科大学的数学分析讲义、Apostol的数学分析等）都引入了Jordan容度，但在介绍重积分时依旧只讲了一些很平凡的结论。

\(\S2.1\) R积分的构造与可积性

若无特殊说明，下文提及的可容集均为\(\mathbb{R}^n\)上的可容集，被积函数均为\(\mathbb{R}^n\)到\(\mathbb{R}\)的实值函数。

Definition 2.1.1 设\(E\)是可容集，称有限个元素的集族\(\Delta=\{E_1,\dots,E_m\}\)为\(E\)的一个分法，若\(\bigcup\limits_{i=1}^mE_i=E\)且两两的开核互不相交，记\(\lVert\Delta\rVert\coloneqq\max\limits_{i=1,\dots,m}{\rm diam}E_i\)为\(\Delta\)的直径。

Definition 2.1.2 设\(E\)是可容集，称分法\(\Delta'=\{E_1',\dots,E_p'\}\)是分法\(\Delta=\{E_1,\dots,E_m\}\)的一个细分，若对\(i=1,\dots,p\)，均存在\(j\in\{1,\dots,m\}\)，使得\(E_i'\subset E_j\)。

Remark 令\(\Delta+\Delta'\)由\(\{A\cap B:A\in\Delta,B\in\Delta'\}\)中的所有非空集合构成，则\(\Delta+\Delta'\)是一个分法，且是\(\Delta\)和\(\Delta'\)的细分。

Definition 2.1.3 设\(f\)是可容集\(E\)上的有界实值函数，对\(E\)的一个分法\(\Delta=\{E_1,\dots,E_m\}\)，令\(M_i=\sup\limits_{\boldsymbol x\in E_i}f(\boldsymbol x),m_i=\inf\limits_{\boldsymbol x\in E_i}f(\boldsymbol x)\)，定义\(U(f,\Delta)\coloneqq\sum\limits_{i=1}^nM_iJ(E_i)\)和\(L(f,\Delta)\coloneqq\sum\limits_{i=1}^nm_iJ(E_i)\)。定义\(f\)在\(E\)上的Riemann上积分\(L\int_Ef{\rm d}\boldsymbol x\coloneqq\inf U(f,\Delta)\)和Riemann下积分\(U\int_Ef{\rm d}\boldsymbol x\coloneqq\sup L(f,\Delta)\)，其中\(\Delta\)取遍所有分法。下文简称为上积分和下积分。

Definition 2.1.4 设\(f\)是可容集\(E\)上的有界实值函数，若\(f\)在\(E\)上的上下积分相等，就称\(f\)在\(E\)上Riemann可积（简称R可积），记\(\int_Ef(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\coloneqq L\int_Ef(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x=U\int_Ef(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\)，记所有R可积的函数集合为\(\mathscr R\)，\(E\)上R可积的函数集合为\(\mathscr R[E]\)。

Remark 对可容集\(F\subset E\)，令限制在\(F\)上的\(f\)为\(f_F\)，我们直接记\(f_F\)的上下积分记为\(L\int_Ff(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\)和\(U\int_Ff(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\)，同样地，若此时\(f_F\)R可积，记其R积分为\(\int_Ff(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\)及\(f\in\mathscr R[F]\)，称\(f\)在\(F\)上R可积。

接着，我们来讨论一个函数何时是R可积的。

Lemma 2.1.1 设\(f\)是可容集\(E\)上的有界实值函数，若\(\Delta'\)是\(\Delta\)的细分，则\(L(f,\Delta)\leq L(f,\Delta')\leq U(f,\Delta')\leq U(f,\Delta)\)。

• Proof 由定义，\(L(f,\Delta')\leq U(f,\Delta')\)是显然的。设\(\Delta=\{E_1,\dots,E_m\}\)，令\(\Delta_i=\{A\in\Delta':A\subset E_i\}\)，显然\(\Delta_1,\dots,\Delta_m\)是\(\Delta'\)的一个划分且均非空，则有 \[ \begin{align*} U(f,\Delta)-U(f,\Delta')&=\sum\limits_{i=1}^m(M_iJ(E_i)-\sum\limits_{A\in\Delta_i}M_AJ(A))\\ &\leq\sum\limits_{i=1}^m(M_iJ(E_i)-\sum\limits_{A\in\Delta_i}M_iJ(A))\\ &\leq\sum\limits_{i=1}^mM_i(J(E_i)-\sum\limits_{A\in\Delta_i}J(A))=0, \end{align*} \]

  其中\(M_A=\sup\limits_{\boldsymbol x\in A}f(\boldsymbol x)\)。同理\(L(f,\Delta)\leq L(f,\Delta')\)。 \(\Box\)

Lemma 2.1.2 设\(f\)是可容集\(E\)上的有界实值函数，则\(L\int_E f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\leq U\int_E f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\)。

• Proof 任取划分\(\Delta_1,\Delta_2\)，由Lemma 2.1.1，有\(L(f,\Delta_1)\leq L(f,\Delta_1+\Delta_2)\leq U(f,\Delta_1+\Delta_2)\leq U(f,\Delta_2)\)，由任意性\(L\int_E f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\leq U\int_e f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\)是显然的。 \(\Box\)

Theorem 2.1.1 设\(f\)是可容集\(E\)上的有界实值函数，则下述命题等价：
(a) \(f\in\mathscr{R}[E]\)；
(b) \(\forall\varepsilon>0\)，存在一个分法\(\Delta\)，使得\(U(f,\Delta)-L(f,\Delta)<\varepsilon\)；
(c) \(\exists I,\forall\varepsilon>0\)，存在一个分法\(\Delta=\{E_1,\dots,E_m\}\)，使得\(|\sum\limits_{i=1}^mf(\boldsymbol x_i)J(E_i)-I|<\varepsilon\)，其中\(\boldsymbol x_i\)是\(E_i\)上任意一点；
(d) \(\exists I,\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\)，对所有满足\(\lVert\Delta\rVert<\delta\)的分法\(\Delta=\{E_1,\dots,E_m\}\)，有\(|\sum\limits_{i=1}^mf(\boldsymbol x_i)J(E_i)-I|<\varepsilon\)，其中\(\boldsymbol x_i\)是\(E_i\)上任意一点；
(e) \(\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\)，对所有满足\(\lVert\Delta\rVert<\delta\)的分法\(\Delta\)，有\(U(f,\Delta)-L(f,\Delta)<\varepsilon\)。

• Proof 先证(a)\(\Rightarrow\)(b)。由\(f\in\mathscr{R}[E]\)，\(\forall\varepsilon>0\)，存在分法\(\Delta_1,\Delta_2\)，使得\(U(f,\Delta_1)-\int_E f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x<\frac\varepsilon2\)及\(\int_E f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x-L(f,\Delta_2)<\frac\varepsilon2\)。取\(\Delta=\Delta_1+\Delta_2\)，则有 \[ U(f,\Delta)\leq U(f,\Delta_1)<\int_E f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x+\frac\varepsilon2<L(f,\Delta_2)+\varepsilon\leq L(f,\Delta)+\varepsilon, \] 即\(U(f,\Delta)-L(f,\Delta)<\varepsilon\)。

  又由Lemma 2.1.2，对任一分法\(\Delta\)，有\(L(f,\Delta)\leq L\int_E f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\leq U\int_E f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\leq U(f,\Delta)\)，由此(b)\(\Rightarrow\)(a)是显然的。

  接着证明(b)\(\Rightarrow\)(c)。由上可知\(f\in\mathscr{R}[E]\)，令\(I=\int_E f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\)。\(\forall\varepsilon>0\)，存在分法\(\Delta\)，使得\(U(f,\Delta)-L(f,\Delta)<\frac\varepsilon2\)，则\(U(f,\Delta)\leq L(f,\Delta)+\frac\varepsilon2<I+\varepsilon\)，同理\(L(f,\Delta)>I-\varepsilon\)。又由定义可知，\(L(f,\Delta)\leq\sum\limits_{i=1}^mf(\boldsymbol x_i)J(E_i)\leq U(f,\Delta)\)，对\(\boldsymbol x_i\)取遍\(E_i\)上任意一点均成立，则有\(|\sum\limits_{i=1}^mf(\boldsymbol x_i)J(E_i)-I|<\varepsilon\)。

  再证明(c)\(\Rightarrow\)(d)。在(c)的条件下，\(\exists I,\forall\varepsilon>0\)，存在一个分法\(\Delta=\{E_1,\dots,E_m\}\)，使得\(|\sum\limits_{i=1}^mf(\boldsymbol x_i)J(E_i)-I|<\frac\varepsilon2\)，其中\(\boldsymbol x_i\)是\(E_i\)上任意一点。令 \[ F=\bigcup\limits_{i=1}^m\partial E_i,\omega=\sup\limits_{\boldsymbol x\in E}f(\boldsymbol x)-\inf\limits_{x\in E}f(\boldsymbol x), \] 由Theorem 1.2.5可知\(J(F)=0\)，则存在简单图形\(Q\)，使得\(F\subset\mathring Q\)且\(J(Q)<\frac{\varepsilon}{2\omega}\)。取\(\delta=\inf\limits_{\boldsymbol x\in F,\boldsymbol y\in\partial Q}d(\boldsymbol x,\boldsymbol y)\)，由\(F\subset\mathring Q\)可知\(F\)和\(\partial Q\)不相交，而任一点集的边界均为闭集，则\(F,\partial Q\)均为\(\mathbb{R}^n\)上有界闭集，即紧集，因此由第七篇笔记中的Theorem 2.1.10，\(\delta>0\)。对任一满足\(\lVert\Delta'\rVert<\delta\)的分法\(\Delta'=\{E_1',\dots,E_p'\}\)，设 \[ \Delta_1'=\{E_i'\in\Delta':\exists E_j\in\Delta,E_i'\subset E_j\},i=1,\dots,p,j=1,\dots,m. \] 再取\(\Delta_2'=\Delta'\backslash\Delta_1'\)，由\(\delta\)的取值可以看出，\(\Delta_2'\)中的元素一定被\(Q\)包含了，因此我们有\(|\sum\limits_{i=1}^mf(\boldsymbol x_i)J(E_i)-\sum\limits_{i=1}^pf(\boldsymbol x'_i)J(E'_i)|<J(Q)\omega<\frac\varepsilon2\)，则 \[ |\sum\limits_{i=1}^pf(\boldsymbol x'_i)J(E'_i)-I|<|\sum\limits_{i=1}^mf(\boldsymbol x_i)J(E_i)-\sum\limits_{i=1}^pf(\boldsymbol x'_i)J(E'_i)|+|\sum\limits_{i=1}^mf(\boldsymbol x_i)J(E_i)-I|<\varepsilon, \] 其中\(\boldsymbol x_i'\)和\(\boldsymbol x_i\)分别是\(E_i'\)和\(E_i\)上任意一点。

  在(d)的条件下，\(I-\varepsilon<\sum\limits_{i=1}^mf(\boldsymbol x_i)J(E_i)<I+\varepsilon\)，则(e)是显然的。

  最后，显然(e)蕴含了(b)，因此这五个命题是等价的。 \(\Box\)

Theorem 2.1.2 设\(f\)是可容集\(E\)上的有界实值函数，且\(f\)的不连续点集是零容集，则\(f\in\mathscr R[E]\)。

• Proof 令\(f\)不连续点集合为\(F\)，\(M=\sup\limits_{\boldsymbol x\in E}|f(\boldsymbol x)|\)。\(\forall\varepsilon>0\)，取一个简单图形\(Q\subset (E\backslash F)\)，且\(J(E)-J(Q)<\frac\varepsilon{4M}\)。由\(Q\)为有界闭集即紧集，得\(f\)在\(Q\)上一致连续，从而 \[ \forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall\boldsymbol x'\in B_Q(\boldsymbol x,\delta),|f(\boldsymbol x')-f(\boldsymbol x)|<\frac\varepsilon{2J(Q)}. \] 则取\(Q\)的一个分法\(\Delta\)满足\(\lVert\Delta\rVert<\delta\)，有\(U(f,\Delta)-L(f,\Delta)<\frac\varepsilon2\)。取\(E'=E\backslash Q\)，易见\(\Delta'=\{E'\}\cup\Delta\)是\(E\)的一个分法，且\(J(E')=J(E)-J(Q)<\frac\varepsilon{4M}\)，从而\(U(f,\Delta')-L(f,\Delta')<U(f,\Delta)-L(f,\Delta)+2M\frac{\varepsilon}{4M}<\varepsilon\)，即\(f\in\mathscr R[E]\)。 \(\Box\)

Remark 这个定理很容易让人联想到Lebesgue定理，但不连续点为零容集并不是一个充要条件，Riemann函数就是一个很好的反例（Riemann函数可积，所有的不连续点集为\((0,1]\cap\mathbb Q\)，这并不可容）。

\(\S2.2\) R积分与容度

上述内容给出了函数R可积的多个等价定义，而下面的内容则能反映R可积函数与Jordan容度的紧密联系。

Theorem 2.2.1 设\(f\)是零容集\(E\)上的有界实值函数，则\(\int_E f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x=0\)。

• Proof 令\(M=\sup\limits_{\boldsymbol x\in E}f(\boldsymbol x),m=\inf\limits_{\boldsymbol x\in E}f(\boldsymbol x)\)，显然\(mJ(E)\leq L\int_E f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\leq U\int_E f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\leq MJ(E)\)，由\(J(E)=0\)可见\(\int_E f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x=0\)。 \(\Box\)

Remark 该定理也蕴含了定义在零容集上的有界实值函数一定R可积。

Theorem 2.2.2 设\(E\subset\mathbb{R}^n\)有界可容，则\(\int_EC{\rm d}\boldsymbol x=C\cdot J(E),\forall C\in\mathbb R\)，特殊地，\(\int_E1{\rm d}\boldsymbol x=J(E)\)。

由Theorem 2.1.1，该定理是显然的，这已经能初步看出R积分与Jordan容度的联系，而下面的定理则更深刻的刻画了它们的联系。

Theorem 2.2.3 设\(f\)是定义在\(n\)维可容集\(E\subset\mathbb{R}^n\)上的有界非负实值函数，令\(\Gamma\coloneqq\{(\boldsymbol x,y)\colon\boldsymbol x\in E,0\leq y\leq f(\boldsymbol x)\}\)则\(f\in\mathscr{R}[E]\)当且仅当\(\Gamma\)是\(\mathbb{R}^{n+1}\)上的\(n+1\)维可容集。

• Proof 证明中默认\(J\)是\(\mathbb R^{n+1}\)上的Jordan容度。先设\(f\in\mathscr{R}[E]\)，令\(M=\sup\limits_{\boldsymbol x\in E}f(\boldsymbol x)\)，如下定义三个集合 \[ D_1=\{(\boldsymbol x,0)\colon\boldsymbol x\in E\},D_2=\{(\boldsymbol x,f(\boldsymbol x))\colon\boldsymbol x\in E\},D_3=\{(\boldsymbol x,y)\colon\boldsymbol x\in\partial E,0\leq y\leq M\}, \] 显然\(\partial\Gamma\subset D_1\cup D_2\cup D_3\)。由Theorem 1.2.8得\(D_1\)是\(n+1\)维零容集，结合Theorem 1.2.2、2.2.1和2.2.2，\(D_3\)也是\(n+1\)维零容集。对\(D_2\)，\(\forall\varepsilon>0\)，由Theorem 2.1.1，存在一个分法\(\Delta=\{E_1,\dots,E_m\}\)，使得\(U(f,\Delta)-L(f,\Delta)<\varepsilon\)。取\(Q=\bigcup\limits_{i=1}^mE_i\times[m_i,M_i]\)，显然\(Q\)是覆盖了\(D_2\)的一个简单图形，且\(S(Q)=U(f,\Delta)-L(f,\Delta)\)，则由\(\varepsilon\)任意性，\(D_2\)也是\(n+1\)维零容集，因此\(\partial\Gamma\)是\(n+1\)维零容集，即\(\Gamma\)是\(n+1\)维可容集。

  设\(\Gamma\)是\(n+1\)维可容集，易见\(D_2\subset\partial\Gamma\)，则\(D_2\)是\(n+1\)维零容集，从而\(\forall\varepsilon>0\)，存在有限个\(\mathbb R^{n+1}\)上的开核互不相交的矩体\(I_1,\dots,I_p\)覆盖了\(D_2\)，且\(\sum\limits_{i=1}^pJ(I_i)<\varepsilon\)。由矩体的定义，将每个矩体分解为\(I'_i\times[a_i,b_i],i=1,\dots,p\)，其中\(I'_i\)是\(\mathbb R^n\)上的矩体。令 \[ \Delta=\{I_i'\cap I_j'\cap E\colon i\neq j,i,j=1,\dots,p\}\cup\{(I'_i\cap E)\backslash\bigcup_{j=1,\dots,p,j\neq i}I'_j\colon i=1,\dots,p\}, \] 显然这是\(E\)的一个分法，不妨设\(\Delta=\{E_1',\dots,E_q'\}\)，令 \[ m_i'=\inf\limits_{\boldsymbol x\in E_i'}f(\boldsymbol x),M'_i=\sup\limits_{\boldsymbol x\in E_i'}f(\boldsymbol x),F_i=E_i'\times[m_i',M_i']. \] 可以看出\(F_1,\dots,F_q\)两两开核互不相交且均可容，并且对每个\(E_i'\)和\(I_j'\)，要么\(E_i'\subset I_j'\)，要么\(E_i'\cap I_j'=\emptyset\)，由定义还可以确定必然有一个\(I_j'\)包含了\(E_i'\)。另外，\(\forall x\in(m_i',M_i')\)，由定义可以看出，要么\(E_i'\times\{x\}\subset(\bigcup\limits_{j=1}^pI_j)\)，要么\(E_i'\times\{x\}\cap(\bigcup\limits_{j=1}^pI_j)=\emptyset\)。由此，对任一\(F_i\)，若\(F_i\not\subset(\bigcup\limits_{j=1}^pI_j)\)，则 \[ \exists x'\in[m_i',M_i'],{\rm s.t.~}E_i'\times\{x'\}\cap(\bigcup\limits_{j=1}^pI_j)=\emptyset. \] 若\(x'\in(m_i',M_i')\)，则\(I_i,\dots,I_p\)不能覆盖\(D_2\)，因此\(x'= M_i'\)或\(x'=m_i'\)。此时，\(\forall x\in(m_i',M_i')\)，有\(E_i'\times\{x\}\subset(\bigcup\limits_{j=1}^pI_j)\)，则\(E_i'\times\{x'\}\subset\partial(\bigcup\limits_{j=1}^pI_j)\)且\(E_i'\times\{x'\}\not\subset\partial(\bigcup\limits_{j=1}^pI_j)\)，这与\(\bigcup\limits_{j=1}^pI_j\)是闭集矛盾，因此\(F_i\subset(\bigcup\limits_{j=1}^pI_j)\)对任一\(F_i\)均成立。进而，我们有 \[ \sum_{i=1}^qJ(F_i)=J(\bigcup_{i=1}^qF_i)\leq J(\bigcup_{j=1}^pI_j)=\sum_{j=1}^pJ(I_j)<\varepsilon. \] 注意到\(\sum\limits_{i=1}^qJ(F_i)=U(f,\Delta)-L(f,\Delta)\)，由\(\varepsilon\)任意性及Theorem 2.1.1，\(f\in\mathscr{R}[E]\)。 \(\Box\)

\(\S2.3\) 分割值域的R积分

在很多实变教材中，都将Lebesgue积分和Riemann积分的区别描述成分割定义域或分割值域，但这绝不是造成两种积分在完备性上的差异的原因。我们先引入[1]中的三个定理，在论文中讨论的是定义在矩体上的情况，但对于每个可容集\(E\)上的可积函数\(f\)，都可以取矩体\(I\supset E\)，并定义\(I\)上的函数 \[ f_I(\boldsymbol x)\coloneqq\begin{cases} f(\boldsymbol x),&\boldsymbol x\in E,\\ 0,&{\rm else}. \end{cases} \] 且显然有\(\int_Ef(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x=\int_If_I(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\)。文中也提到这三个定理很容易就能推广到一般的Riemann积分上，因此我们直接给出在可容集上的形式。

Theorem 2.3.1 设\(f\)是可容集\(E\)上的有界实值函数，令\(M=\sup\limits_{\boldsymbol x\in E}f(\boldsymbol x),m=\inf\limits_{\boldsymbol x\in E}f(\boldsymbol x)\)，则\(f\in\mathscr{R}[E]\)与下述几个命题等价：
(a) 只有至多可数个\(k\in\mathbb R\)，使得\(\{\boldsymbol x\colon f(\boldsymbol x)>k\}\)不可容或\(\{\boldsymbol x\colon f(\boldsymbol x)<k\}\)不可容；
(b) 只有至多可数个\(k\in\mathbb R\)，使得\(\{\boldsymbol x\colon f(\boldsymbol x)\geq k\}\)不可容或\(\{\boldsymbol x\colon f(\boldsymbol x)\leq k\}\)不可容；
(c) 对\([m,M]\)上的一个稠密集\(X\)，\(\forall\boldsymbol x\in X\)，\(\{\boldsymbol x\colon f(\boldsymbol x)> k\}\)可容且\(\{\boldsymbol x\colon f(\boldsymbol x)<k\}\)可容；
(d) 对\([m,M]\)上的一个稠密集\(X\)，\(\forall\boldsymbol x\in X\)，\(\{\boldsymbol x\colon f(\boldsymbol x)\geq k\}\)可容且\(\{\boldsymbol x\colon f(\boldsymbol x)\leq k\}\)可容；
(e) \(\forall k\in\mathbb{R}\)，\(\{\boldsymbol x\colon f(\boldsymbol x)>k\}\)和\(\{\boldsymbol x\colon f(\boldsymbol x)<k\}\)为至多可数个可容集之并；
(f) \(\forall k\in\mathbb{R}\)，\(\{\boldsymbol x\colon f(\boldsymbol x)\geq k\}\)和\(\{\boldsymbol x\colon f(\boldsymbol x)\leq k\}\)为至多可数个可容集之并。

Definition 2.3.1 设\(f\)是\(E\)上的有界实值函数，称\(f\)是简单函数，若\(f\)的值域是有限集。

Theorem 2.3.2 设\(f\)是可容集\(E\)上的有界实值简单函数，值域为\(\{y_1,\dots,y_m\}\)，则\(f\in\mathscr{R}[E]\)当且仅当\(\forall i=1,\dots,m\)，\(f^{-1}(y_i)\)可容（称这样的简单函数为可容简单函数）。且当\(f\in\mathscr{R}[E]\)时，\(\int_Ef(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x=\sum\limits_{i=1}^my_iJ(f^{-1}(y_i))\)。

Theorem 2.3.3 设\(f\)是可容集\(E\)上的有界实值函数，则\(f\in\mathscr{R}[E]\)当且仅当存在可容简单函数列\(\{f_n\}\)一致收敛于\(f\)。

由这三个定理可以看出，我们完全可以通过与构造Lebesgue积分相同的方式通过分割值域来定义Riemann积分，因此使得Lebesgue积分具有完备性的原因在于其基于测度而不是容度。

\(\S2.4\) R积分的性质

Theorem 2.4.1 设\(E_1,E_2\)为可容集且\(\mathring E_1\cap\mathring E_2=\emptyset\)，令\(E=E_1\cup E_2\)，设\(f\)是\(E\)上的有界实值函数，则\(f\)在\(E_1,E_2\)上均R可积当且仅当\(f\in\mathscr R[E]\)且此时有\(\int_Ef(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x=\int_{E_1}f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x+\int_{E_2}f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\)。

• Proof \(f\)在\(E_1,E_2\)上均R可积时，\(\forall\varepsilon>0\)，取\(E_1,E_2\)上的分法\(\Delta_1,\Delta_2\)，使得 \[ \int_{E_i}f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x-\frac\varepsilon2<L(f,\Delta_i)\leq U(f,\Delta_i)<\int_{E_i}f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x+\frac\varepsilon2,i=1,2. \] 取\(\Delta=\Delta_1\cup\Delta_2\)，由\(\mathring E_1\cap\mathring E_2=\emptyset\)可知\(\Delta\)是\(E\)的一个分法（因为显然\(\Delta_1\)中的每一个元素的开核都在\(\mathring E_1\)中，对\(\Delta_2\)也有同样的结论，因此\(\Delta\)中各个元素的开核均互不相交），则\(\forall\varepsilon>0\)，有 \[ \begin{align*} U(f,\Delta)=U(f,\Delta_1)+U(f,\Delta_2)<\int_{E_1}f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x+\int_{E_2}f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x+\varepsilon,\\ L(f,\Delta)=L(f,\Delta_1)+L(f,\Delta_2)>\int_{E_1}f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x+\int_{E_2}f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x-\varepsilon, \end{align*} \] 即 \[ \int_{E_1}f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x+\int_{E_2}f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x-\varepsilon<L\int_Ef(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\leq U\int_Ef(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x<\int_{E_1}f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x+\int_{E_2}f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x+\varepsilon, \] 由\(\varepsilon\)任意性得\(f\in\mathscr R[E]\)且\(\int_Ef(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x=\int_{E_1}f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x+\int_{E_2}f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\)。
  设\(f\)在\(E\)上可积。\(\forall\varepsilon>0\)，取\(E\)的一个分法\(\Delta=\{F_1,\dots,F_m\}\)，满足\(U(f,\Delta)-L(f,\Delta)<\varepsilon\)。令\(\Delta_1\)为\(E_1\cap F_i,i=1,\dots,m\)中除了空集的元素构成的集合，类似定义\(\Delta_2\)，同样可见\(\Delta_1,\Delta_2\)是\(E_1,E_2\)的分法，且 \[ U(f,\Delta_i)-L(f,\Delta_i)\leq U(f,\Delta)-L(f,\Delta)<\varepsilon,i=1,2, \] 即\(f\)在\(E_1,E_2\)上均R可积，由上可知此时有\(\int_Ef(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x=\int_{E_1}f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x+\int_{E_2}f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\)。 \(\Box\)

下面再列出一些R积分的其他性质，证明都是平凡的，这里就不再赘述。

Theorem 2.4.2 设\(E\)是可容集，\(f,g\in\mathscr{R}[E]\)，则有如下性质：
(a) \(f\pm g\in\mathscr R[E]\)且\(\int_E[f(\boldsymbol x)+g(\boldsymbol x)]{\rm d}\boldsymbol x=\int_Ef(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x+\int_Eg(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\)；
(b) \(\forall c\in\mathbb R\)，\(cf\in\mathscr R[E]\)且\(\int_Ecf(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x=c\int_Ef(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\)；
(c) 若\(f(\boldsymbol x)\leq g(\boldsymbol x)\)在\(E\)上恒成立，则\(\int_Ef(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\leq\int_Eg(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x\)；
(d) \(|f|\in\mathscr R[E]\)且\(|\int_Ef(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x|\leq\int_E|f(\boldsymbol x)|{\rm d}\boldsymbol x\)；
(e) \(f\cdot g\in\mathscr R[E]\)。

接着我们给出向量值函数的R积分。

Definition 2.4.1 设\(\boldsymbol f\)是可容集\(E\)上的有界向量值函数，其在标准正交基下的分量形式为\(\boldsymbol f=(f_1,\dots,f_m)\)。若\(f_1,\dots,f_m\in\mathscr R[E]\)，则定义\(\int_a^b\boldsymbol f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x=(\int_a^bf_1(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x,\dots,\int_a^bf_m(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x)\)，同样记作\(\boldsymbol f\in\mathscr R[E]\)。

Remark 该定义蕴含了复值函数的R积分。

大部分性质都可以推广至向量值函数的R积分上，下面列出一个比较重要的性质。

Theorem 2.4.3 设\(\boldsymbol f\)是可容集\(E\)上的可积向量值函数，则\(|\boldsymbol f|\in\mathscr R[E]\)，且\(|\int_a^b\boldsymbol f(\boldsymbol x){\rm d}\boldsymbol x|\leq\int_a^b|\boldsymbol f(\boldsymbol x)|{\rm d}\boldsymbol x\)。

三、\(\mathbb R\)上的R积分

我们下面讨论\(\mathbb R\)上的R积分，下文中通常以\(\mathbb R\)上某一闭区间\([a,b]\)上的积分的形式出现，此时我们记\(\int_{[a,b]}f(x){\rm d}x=\int_a^bf(x){\rm d}x\)。

\(\S3.1\) \(\mathbb R\)上的R积分和反常积分

事实上，由Theorem 2.1.1，在\(\mathbb R\)上定义某个闭区间上的R积分时完全可以将分法中的可容集限制为闭区间，这也是一般的教材中定义\(\mathbb R\)上的R积分的方法。此时，闭区间\([a,b]\)的一个分法可以由有限个点\(a=x_0<x_1<\dots<x_n=b\)表示（即闭区间\([x_0,x_1],[x_1,x_2],\dots,[x_{n-1},x_n]\)，并令\(\Delta x_i=x_i-x_{i-1},i=1,\dots,n\)），因此在讨论闭区间\([a,b]\)上的R积分时我们用这样的有限点集作为一个分法。

特殊地，在\(a=b\)时，我们定义\(\int_a^bf(x){\rm d}x=0\)；在\(a>b\)时，我们定义\(\int_a^bf(x){\rm d}x=-\int_b^af(x){\rm d}x\)。

Theorem 3.1.1(Newton-Leibniz公式) 设\(f\in\mathscr R[a,b]\)且\(F\)是\([a,b]\)上的函数，满足\(F'(x)=f(x)\)，则\(\int_a^bf(x){\rm d}x=F(b)-F(a)\)。

• Proof \(\forall\varepsilon>0\)，取分法\(\Delta=\{x_0,\dots,x_n\}\)，使得\(|\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i-\int_a^bf(x){\rm d}x|<\varepsilon\)，其中\(\xi_i\)是\([x_{i-1},x_i]\)上任意一点。由Lagrange中值定理，对任一\([x_{i-1},x_i]\)，均存在\(\eta_i\in[x_{i-1},x_i]\)，使得\(f(\eta_i)\Delta x_i=F(x_i)-F(x_{i-1})\)，累加得\(\sum\limits_{i=1}^nf(\eta_i)\Delta x_i=F(b)-F(a)\)，即 \[ |F(b)-F(a)-\int_{a}^bf(x){\rm d}x|<\varepsilon. \] 由\(\varepsilon\)任意性得\(\int_a^bf(x){\rm d}x=F(b)-F(a)\)。 \(\Box\)

对函数\(F(x)\)，我们将\(F(b)-F(a)\)记作\(F(x)\Big|^b_a\)。

Definition 3.1.1 设\(f\in\mathscr R[a,b]\)，定义\(\phi(x)\coloneqq\int_a^xf(t){\rm d}t,\forall t\in[a,b]\)为\(f\)的变限函数（由Theorem 2.4.1，\(\phi\)在\([a,b]\)上是有定义的）。

Theorem 3.1.2 设\(f\in\mathscr R[a,b]\)，则\(f\)的变限函数\(\phi\)在\([a,b]\)上连续。

• Proof 令\(M=\sup\limits_{x\in[a,b]}f(x)\)，\(\forall\varepsilon>0\)，取\(\delta=\frac\varepsilon M\)，\(\forall x'\in B_\mathbb R(x,\delta)\cap[a,b]\)，有 \[ |\phi(x')-\phi(x)|=|\int_x^{x'}f(t){\rm d}t|\leq\int_x^{x'}|f(t)|{\rm d}t\leq M\delta=\varepsilon, \] 即\(\phi\)在\(x\)处连续，由\(x\)任意性得\(\phi\in \mathscr C[a,b]\)。 \(\Box\)

Theorem 3.1.3(微积分基本定理) 设\(f\in \mathscr C[a,b]\)，则其变限函数\(\phi\)在\([a,b]\)上处处可导且\(\phi'(x)=f(x)\)。

• Proof 任取\(x\in[a,b]\)，\(\forall\varepsilon>0\)，由\(f\in \mathscr C[a,b]\)得\(\exists\delta>0\)，有 \[ \forall x'\in B_\mathbb R(x,\delta)\cap[a,b],|f'(x)-f(x)|<\varepsilon. \] 则\(\forall h\in(-\delta,\delta)\)，有\(\phi(x+h)-\phi(x)=\int_{x}^{x+h}f(t){\rm d}t\in(f(x)h-h\varepsilon,f(x)h+h\varepsilon)\)，即\(\phi'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\phi(x+h)-\phi(x)}{h}=f(x)\)，由\(x\)任意性得\(\phi'(x)=f(x)\)在\([a,b]\)上均成立。 \(\Box\)

上述内容刻画了导数与积分的联系，接着我们进一步讨论可微的函数在R积分中有什么特殊的性质。

Theorem 3.1.4 设\(\varphi\)是\([a,b]\)上的可微函数，\(\varphi'\in\mathscr R[\alpha,\beta]\)，\(f\in\mathscr C[a,b]\)，且\(\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b,\varphi([\alpha,\beta])\subset[a,b]\)，则\(\int_a^bf(x){\rm d}x=\int_\alpha^\beta f(\varphi(x))\varphi'(x){\rm d}x\)。

• Proof 由\(f\in\mathscr C[a,b]\)，其变限函数\(\phi\)在\([a,b]\)上满足\(\phi'(x)=f(x)\)，则由链式法则 \[ (\phi\circ\varphi)(x)=\phi'(\varphi(x))\varphi'(x)=f(\varphi(x))\varphi'(x). \] 由Newton-Leibniz公式， \[ \int_\alpha^\beta f(\varphi(x))\varphi'(x){\rm d}x=\phi(\varphi(\beta))-\phi(\varphi(\alpha))=\phi(b)-\phi(a)=\int_a^bf(x){\rm d}x.~\Box \]

Theorem 3.1.5 设\(\varphi\)是\([a,b]\)上的严格单调可微函数，\(\varphi'\in\mathscr R[\alpha,\beta]\)，\(f\in\mathscr R[a,b]\)，且\(\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b\)，则\(\int_a^bf(x){\rm d}x=\int_\alpha^\beta f(\varphi(x))\varphi'(x){\rm d}x\)。

• Proof 不妨设\(\varphi\)递增，设\(M=\sup\limits_{x\in[a,b]}\varphi'(x)\)。任取\([\alpha,\beta]\)的一个分法\(\Delta=\{t_0,t_1,\dots,t_n\}\)，令\(x_i=\varphi(t_i)\)，得\(\Delta'=\{x_0,\dots,x_n\}\)是\([a,b]\)的一个分法。由Lagrange中值定理， \[ \exists\xi_i\in(t_{i-1},t_i),\varphi(\xi_i)(t_i-t_{i-1})=\varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1})=x_i-x_{i-1},i=1,\dots,n, \] 且\(\lVert\Delta'\rVert<M\lVert\Delta\rVert\)。设\(M'=\sup\limits_{x\in[a,b]}|f(x)|\)，令\(x'_i=\varphi(\xi_i)\)，有\(x_i'\in(x_{i-1},x_i)\)，则 \[ \sum\limits_{i=1}^nf(\varphi(\xi_i))\varphi'(\xi_i)(t_i-t_{i-1})=\sum\limits_{i=1}^nf(\varphi(\xi_i))(\varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1}))=\sum\limits_{i=1}^nf(x_i')(x_i-x_{i-1}). \] 再结合\(\varphi'\in\mathscr R[\alpha,\beta,f\in\mathscr R[a,b]\)，\(\forall\varepsilon>0,\exists\delta\)，当\(\lVert\Delta\rVert<\delta\)时， \[ \begin{align*} |\sum\limits_{i=1}^nf(\varphi(\xi_i))\varphi'(\xi_i)(t_i-t_{i-1})-\int_a^bf(x){\rm d}x|<\frac\varepsilon2,\\ U(f,\Delta)-L(f,\Delta)<\frac\varepsilon{4M}, \\U(\varphi',\Delta)-L(\varphi',\Delta)<\frac\varepsilon{4M'} \end{align*} \] 再任取\(\eta_i\in[t_{i-1},t_i],i=1,\dots,n\)，有 \[ \begin{align*} |\sum\limits_{i=1}^nf(\varphi(\eta_i))\varphi'(\eta_i)(t_i-t_{i-1})-\int_a^bf(x){\rm d}x|\leq\\|\sum\limits_{i=1}^nf(\varphi(\eta_i))\varphi'(\eta_i)(t_i-t_{i-1})-\sum\limits_{i=1}^nf(\varphi(\xi_i))\varphi'(\xi_i)(t_i-t_{i-1})|+\\|\sum\limits_{i=1}^nf(\varphi(\xi_i))\varphi'(\xi_i)(t_i-t_{i-1})-\int_a^bf(x){\rm d}x|, \end{align*} \] 其中，我们有 \[ \begin{align*}|\sum\limits_{i=1}^nf(\varphi(\eta_i))\varphi'(\eta_i)(t_i-t_{i-1})-\sum\limits_{i=1}^nf(\varphi(\xi_i))\varphi'(\xi_i)(t_i-t_{i-1})|=\\ |\sum\limits_{i=1}^n[f(\varphi(\eta_i))-f(\varphi(\xi_i))]\Delta x_i|+|\sum\limits_{i=1}^nf(\varphi(\xi_i))[\varphi'(\xi_i)-\varphi'(\eta_i)]\Delta t_i|\\ \leq M(U(f,\Delta')-L(f,\Delta'))+M'(U(\varphi',\Delta)-L(\varphi',\Delta))<\frac\varepsilon2.\end{align*} \] 代入得\(|\sum\limits_{i=1}^nf(\varphi(\eta_i))\varphi'(\eta_i)(t_i-t_{i-1})-\int_a^bf(x){\rm d}x|<\varepsilon\)，即\(\int_a^bf(x){\rm d}x=\int_\alpha^\beta f(\varphi(x))\varphi'(x){\rm d}x\)。 \(\Box\)

Remark 在该定理的条件下，我们简记为\(\int_a^bf(x){\rm d}x=\int_\alpha^\beta f(\varphi(x)){\rm d}\varphi(x)\)。

Theorem 3.1.6(分部积分法) 设\(f,g\)为\([a,b]\)上的可微函数，且\(f',g'\in\mathscr R[a,b]\)，则\(\int_a^bf(x)g'(x){\rm d}x=f(x)g(x)\Big|_a^b-\int_a^bf'(x)g(x){\rm d}x\)。

• Proof 由\([f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)，我们有 \[ \int_a^bf(x)g'(x){\rm d}x+\int_a^bf'(x)g(x){\rm d}x=\int_a^b[f(x)g'(x){\rm d}x+f'(x)g(x)]{\rm d}x=f(x)g(x)\Big|_a^b. \] 移项得\(\int_a^bf(x)g'(x){\rm d}x=f(x)g(x)\Big|_a^b-\int_a^bf'(x)g(x){\rm d}x\)。 \(\Box\)

Remark 我们将分部积分法简写为\(\int_a^bf(x){\rm d}g(x)=f(x)g(x)\Big|_a^b-\int_a^bg(x){\rm d}f(x)\)。

对于反常积分，我们只给出基本的定义，不深入讨论。

Definition 3.1.2 设\(f\)在\([a,+\infty)\)上有定义，且\(\forall b\in[a,+\infty)\)，有\(f\in\mathscr R[a,b]\)，若\(\lim\limits_{b\to\infty}\int_a^bf(x){\rm d}x\)存在则定义\(f\)在\([a,+\infty)\)上的反常积分为\(\int_a^{+\infty}f(x){\rm d}x\coloneqq\lim\limits_{b\to\infty}\int_a^bf(x){\rm d}x\)，称其反常积分收敛，否则称其反常积分发散。

Definition 3.1.3 设\(f\)在\([a,+\infty)\)上有定义，且\(\forall b\in[a,+\infty)\)，有\(|f|\in\mathscr R[a,b]\)，并且\(|f|\)在\([a,+\infty)\)上的反常积分收敛，则称\(f\)的反常积分绝对收敛。

不难看出，绝对收敛的反常积分一定收敛。若收敛但不绝对收敛，则称为条件收敛。

\(\S3.2\) Weierstrass近似定理

Theorem 3.2.1(Weierstrass近似定理) 设复值函数\(f\in\mathscr C[a,b]\)，则存在多项式序列\(\{P_n\}\)一致收敛于\(f\)。若\(f\)是实函数，则\(\{P_n\}\)可以是实多项式序列。

这里的证明方法出自Rudin之手，如果思考过证明中的构造背后的思想，就会发现这个构造是非常自然且巧妙的。

首先不失一般性，我们考虑\([a,b]=[0,1]\)且\(f(0)=f(1)=0\)。令\(R_n(x)=(1-x^2)^n\)，易见在\([-1,1]\)上，有 \[ \lim_{n\to\infty}R_n(x)=\begin{cases} 1,x=0,\\ 0,{\rm else}. \end{cases} \] 另外，对任一连续函数\(f(x)\)和一个多项式\(P(x)\)，\(\int_a^bf(t)P(t-x){\rm d}t\)显然还是\([a,b]\)上的一个多项式。

结合以上两点，我们取\(Q_n(x)=\frac1{\int_{-1}^1R_n(x){\rm d}x}R_n(x)\)，可以看出\(\int_{-1}^1Q_n(x){\rm d}x=1\)，且大部分“面积”集中在\(x=0\)附近。而对\(f\)，由于其在\([a,b]\)上连续，则一定有界，那么\(\int_{-1}^1f(t)Q_n(t-x){\rm d}t\)在\(n\)充分大时，大部分“面积”集中在\(t=x\)处，很显然这个积分值趋近于\(f(x)\)。通过上面这些不严谨的讨论，\(P_n=\int_{-1}^1f(t)Q_n(t-x){\rm d}t\)似乎就是我们要找的函数项序列，下面我们来证明这一点。

• Proof 不失一般性，考虑\([a,b]=[0,1]\)且\(f(0)=f(1)=0\)，定义\(f\)在\(\mathbb R\backslash [0,1]\)上恒为\(0\)，则\(f\)在\(\mathbb R\)上一致连续。放缩易得\(\int_{-1}^1(1-x^2)^n{\rm d}x>\frac1{\sqrt n}\)，则有\(\forall\delta>0\) \[ Q_n(x)\leq\sqrt n(1-\delta^2)^n,\forall x\in[-1,-\delta]\cup[\delta,1], \] 因此在\([-1,-\delta]\cup[\delta,1]\)上\(Q_n\)一致收敛于\(0\)。

  令\(P_n(x)=\int_{-1}^1f(x+t)Q_n(t){\rm d}t,\forall x\in[0,1]\)，\(f\)在\(t<-x\)及\(t>1-x\)时有\(f(x+t)=0\)，则 \[ P_n(x)=\int_{-x}^{1-x}f(x+t)Q_n(t){\rm d}t=\int_0^1f(t)Q_n(t-x){\rm d}t, \] 这里用到了Theorem 3.1.5，显然\(P_n(x)\)是关于\(x\)的多项式，且若\(f\)是实函数，则\(\{P_n\}\)是实多项式序列。

  \(\forall\varepsilon>0,\exists\delta\in(0,1)\)，使得\(\forall x,y(|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\frac\varepsilon2)\)，且对\(\delta\)，令\(M=\sup\limits_{x\in[0,1]}|f(x)|\)， \[ \exists N,\forall n>N,\sqrt n(1-\delta^2)^n<\frac\varepsilon{8M}. \] 注意到\(Q_n(x)\)关于\(x=0\)对称及\(Q_n\geq 0,\int_{-1}^1Q_n(x){\rm d}x=1\)，则有 \[ \begin{align*} |P_n(x)-f(x)|&=\left|\int_{-1}^1[f(x+t)-f(x)]Q_n(t){\rm d}t\right| \\&\leq\int_{-1}^1|f(x+t)-f(x)|Q_n(t){\rm d}t \\&\leq2M\int_{-1}^{-\delta} Q_n(t){\rm d}t+\frac\varepsilon2\int_{-\delta}^\delta Q_n(t){\rm d}t+2M\int_\delta^1Q_n(t){\rm d}t \\&\leq\frac\varepsilon2+4M\int_\delta^1Q_n(t){\rm d}t \\&\leq\frac\varepsilon2+4M\sqrt n(1-\delta^2)^n<\varepsilon. \end{align*} \] 综上所述，\(\{P_n\}\)一致收敛于\(f\)。 \(\Box\)

[1] Frink, O. (1933) Jordan Measure and Riemann Integration. Annals of Mathematics, 34(3), 518–526.