承接上文，这一章主要阐述超平面间的距离、商空间范数与泛函的关系。特别地，我们引入了在超平面上泛函的范数的等价定义，并给出了泛函范数的几何意义：一个泛函的等值超平面之间的距离与泛函的值的差的比值。同时也解释了为什么一些问题总是约束\(\lVert l\rVert=1\)。
泛函的值、超平面的距离、商空间范数
由Hahn Banach定理易知，对\(X\)的任意余维数为\(1\)的闭子空间\(Y\)，在\(X^*\)单位圆上存在唯一一个泛函\(l_Y\)的零空间为\(Y\)。回忆一下原文Ch 5引入的\(X/Y\)上的范数，设\(\set{x}\)是\(X{\rm~mod~} Y\)的一个等价类，则定义 \[ \lVert{\{x\}\rVert}:=\inf_{y\in Y}\lVert{x+y}\rVert. \] 根据前面的讨论，在余维数为\(1\)的闭子空间\(Y\)上，\(\set{x}\)即超平面\(P(l_Y,l_Y(x))\)，因此我们可以将\(X/Y\)中的元素都看作\(l_Y\)导出的超平面。任取\(x_1,x_2\in X\)，易见 \[ \lVert{\set{x_1}-\set{x_2}}\rVert=\inf_{y\in Y}\lVert{x_2-x_1+y}\rVert\tag{1}\label{Equ:plane_dis} \] 如下图所示，等式右边即所有\(x_1\)指向超平面\(P(l_Y,l_Y(x_2))\)的向量中的范数的下确界。限制在欧氏空间上，这与欧氏空间上两个平行的超平面的距离的定义是等价的。
我们重写泛函范数的定义（后文会给出证明），有 \[ \lVert l\rVert=\sup_{x\in P(l,c)}\frac{| c|}{\lVert x\rVert},\forall l\in X^*. \] 我们可以从几何角度考虑这个等式。注意到对实常数\(k\)，\(P(l,kc)=\set{kx\colon x\in P(l,c)}\)，因此不失一般性，令\(c=\lVert l\rVert\)。由于\(S_{B(0,1)}(l)=\lVert l\rVert\)，则根据第一章的讨论，\(\overline H(l,\lVert l\rVert)\)是单位球的支撑半平面。从而在单位球上，存在一个序列\(\set{a_n}\)向超平面\(P(l,\lVert l\rVert)\)逼近。自然地，超平面上也有一个序列\(\set{b_n}\)向单位球逼近。
下图是一张示意图。\(\lVert l\rVert\)即是单位球上经过\(l\)作用后的值的上确界（\(\set{l(a_n)}\)就在逼近这个上确界）。同时，\(\set{b_n}\)也在逼近原点到超平面上的点的距离（等于\(1\)）的下确界，即原点到超平面的距离。
Remark 事实上，在自反Banach空间上是范数可达的（James定理），这意味着单位球和超平面\(P(l,\lVert l \rVert )\)至少有一个交点\(x_0\)（上图中的红点），此时\(x_0\)是单位球上经\(l\)作用后值最大的点，也是超平面上距离原点最近的点（范数最小的点）。
接着，我们从上述的几何直观来证明这个定义和原来的定义是等价的。
Proof 不失一般性，令$c=l $，则只需证 \[ \sup_{x\in P(l,\lVert l \rVert )}\frac{1}{\lVert x \rVert }=1, \] 即 \[ \inf_{x\in P(l,\lVert l \rVert )}\lVert x \rVert =1. \] 显然，对\(x\in P(l,\lVert l \rVert )\)， \[ \lVert x \rVert \geq\frac{l(x)}{\lVert l \rVert }=1, \] 下证\(1\)是下确界。
此时，\(B(0,1)\)上存在一个序列\(\set{x_n}\)，使得$l(x_n)l \(。记\)_n=l - l(x_n)\(，有\)_n$。令 \[ y_n:=\frac{\lVert l \rVert }{l(x_n)}x_n=\frac{\lVert l \rVert }{\lVert l \rVert -\varepsilon_n}x_n=\frac{1}{1-\varepsilon_n/\lVert l \rVert }x_n, \] 显然\(\set{y_n}\)在\(P(l,\lVert l \rVert )\)上且\(y_n=(1+O(\varepsilon_n))x_n\)，则 \[ \lVert{y_n}\rVert=(1+O(\varepsilon_n))\lVert{x_n}\rVert=1+O(\varepsilon_n)\to1. \] 综上所述， \[ \inf_{x\in P(l,\lVert l \rVert )}\lVert x \rVert =1. \]
在\(l\)的一个超平面\(P(l,c)\)上，原点到超平面上的点的最小距离（即原点到超平面的距离）为$|c|/l \(。当\)l \(时，这个距离即\)|c|$。到这里，我们已经将泛函和点到超平面的距离（自然地，也是两个平行的超平面间的距离）联系到了一起。
在上述例子中，把空间按向量\(-x_1\)平移，此时\(x_1\)被平移到了原点，\(P(l_Y,l_Y(x_2))\)被平移到了\(P(l_Y,l_Y(x_2-x_1))\)，\(\eqref{Equ:plane_dis}\)式右边就可以看作是\(P(l_Y,l_Y(x_2-x_1))\)到原点的距离，这个距离等于\(|{l_Y(x_2-x_1)}|/\lVert{l_Y}\rVert\)。
由于我们把\(l_Y\)限制在了单位圆上，\(l_Y(x_2)-l_Y(x_1)\)就等于超平面\(P(l_Y,l_Y(x_1))\)与\(P(l_Y,l_Y(x_2))\)之间的距离，也等于商空间\(X/Y\)上\(\set{x_1}\)与\(\set{x_2}\)的（由商空间范数诱导出的）距离。
\(\lVert x \rVert =\max_{\lVert l \rVert = 1}|{l(x)}|\)的几何意义
Theorem 10(原文Ch 8 Thm 6) \(\lVert x \rVert =\max_{\lVert l \rVert =1}|{l(x)}|,\forall x\in X.\)
接着我们将Theorem 10这个简洁的定理可视化。由于\(\lVert l \rVert =1\)，根据上一小节的讨论，\(|{l(x)}|\)是\(x\)所在的超平面\(P(l,l(x))\)到原点的距离。
如上图所示，蓝点为原点在超平面\(P(l,l(x))\)上的投影（当然，在一般的Banach空间中，应该是一列逼近到原点最短距离的点），蓝色虚线的长度即原点到超平面\(P(l,l(x))\)的距离\(|{l(x)}|\)，红色虚线是\(x\)到原点的连线，长度为\(\lVert{x}\rVert\)。在欧氏空间上，蓝色虚线长度小于等于红色虚线长度是非常显然的。
在\(X^*\)的单位球上取遍所有泛函，则取遍了过\(x\)的超平面，直到取到\(\lVert x\rVert=|{l'(x)}|\)的\(l'\)。不严谨地说，超平面\(P(l',l'(x))\)即与原点和\(x\)连线垂直的超平面，此时超平面到原点的距离自然就是\(x\)到原点的距离。
当然，我们也可以把\(x\)看作是\(X^{**}\)中的元素，这个定理说明\(x^{**}\)一定是范数可达的（如果\(X\)不是自反的话，这对\(X^{**}\)中的其他泛函不一定成立）。这一点也可以从\(X^*\)上的单位球是弱*紧但不是弱紧考虑。