YihRae's blog

找到了发在被封的号上的一篇分析不变量化简二次曲面的本质的文章，重新整理发一下吧。 \[\require{mathtools}\]

塞尔达队的最后一场（其实总共也就两场）亚洲区域赛结束了，养老选手终于摸到了职业生涯第一块金牌，随手写点流水账回忆录吧，心情还没平复，写得非常混乱。

这份笔记比预期的整理慢了不少，因此也就不多废话了。

本篇若无特殊说明，默认序列(数列)和级数是\(\mathbb{C}\)上的。

因为后半学期不是太忙就是太摆，所以这一篇迟迟没有下笔。下笔后发现内容超出了我的预估，所以还是把序列和级数拆在两篇里了。

\[\require{mathtools}\]

本文在已知Riccati方程\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ay^2=bx^m(a\neq0)\)可用初等积分法求解当且仅当\(m=0,-2,\frac{-4k}{2k+1},\frac{-4k}{2k-1},k\in\mathbb{N^+}\)的前提下，探寻构造变换的思路。

我们已经将自然数集到复数域都构建完了，在开始探讨数列、函数这些数学分析中常见的对象之前，先引入一些基础拓扑知识。

这篇笔记的初衷是记录一下数分学习过程中的所学所想，但在写的时候不经意间就加入了一些讲解性的内容，索性就写成了半讲解半笔记的形式。

二分图匹配和最大流是非常基础的内容，二分图匹配可以通过重新建图用最大流的算法解决，并且二分图匹配的König定理和最大流的最大流最小割定理形式上相似。在算法竞赛的书籍中，通常都是通过图论的一些技巧来分别证明这两个定理，非常巧妙但总感觉未能涉及本质。因此我打算利用对偶理论对二分图匹配和最大流中的“最大最小”进行讨论。 \[\require{mathtools}\]

接上一篇笔记，我们知道了有理数是不完备的，因此这篇笔记从提及的两个角度出发分别构造实数域，再证明满足实数域唯一即满足Dedekind完备性的有序域是同构的，最后再定义复数域。

这一篇是利用上一篇集合论的知识构造出自然数系到有理数系，并指出有理数系的缺陷，而对于使用到的代数知识和这些数系的一些代数性质，不在这份笔记里多做讨论。