这一篇是利用上一篇集合论的知识构造出自然数系到有理数系，并指出有理数系的缺陷，而对于使用到的代数知识和这些数系的一些代数性质，不在这份笔记里多做讨论。

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一、自然数

公理化地定义出的数与以前对数的认识可能形式上略有些不同，并且定义的方式有很多。但事实上，这些只是一个“脚手架”，最终定义出来的自然数系没有本质的区别。

$\S1.1$ 定义自然数

在笔记(1)中，我们定义了归纳集，归纳集不一定是唯一的，但归纳集的共有元素集是唯一的。

Definition 1.1.1 $\forall A(W(A)\coloneqq\{x\in A\colon \forall B(Inf(B)\to x\in B)\})$称为归纳集的共有元素集。

接下来两条定理反应了这个定义是多么深刻。

Theorem 1.1.1 $\forall A(Inf(A)\to Inf(W(A)))$

Proof 任取一个归纳集$A$，对任意的归纳集$B$，都有$\emptyset\in B$，因此$\emptyset\in W(A)$。
任取$x\in W(A)$，对任意的归纳集$B$，有$x\in B$，则$x^+\in B$。由此$W(A)$为归纳集。 $\Box$

Remark 对任意的归纳集$A$，$W(A)$也是归纳集。

Theorem 1.1.2 $\forall A\forall B(Inf(A)\wedge Inf(B)\to W(A)=W(B))$

Proof 任取$x\in W(A)$，有$x\in B$。又由定义可知，$x\in W(B)$。从而有$W(A)\subset W(B)$，同理有$W(B)\subset W(A)$，即$W(A)=W(B)$。 $\Box$

由上可知，存在唯一的归纳集$\mathbb{N}$，使得$\forall A(Inf(A)\to\mathbb{N}=W(A))$，即$\mathbb{N}$是唯一满足$\mathbb{N}=W(\mathbb{N})$的归纳集。

Definition 1.1.3 称$\mathbb{N}$为自然数集，当且仅当$Inf(\mathbb{N})\wedge(W(\mathbb{N})=\mathbb{N})$，称$\mathbb{N}$中的元素为自然数。

$\S1.2$ Peano公理

上述定义似乎很难和数联系到一起，事实上，直观地来说，自然数是"从一个起始元$0$开始无休止地计数"。因此，Peano提出了五条公理将这个形象的描述建立成了一个自然数系。但由于按照上文的定义，这五条“公理”都可以被推出，所以下文不称其为公理。

从现在开始我们要从数的角度开始看待了，计数是一个不断增长的过程，回顾一下后继集的概念，因此不妨称$n^+$是$n$的增量，将$\emptyset$记为起始元$0$。

Theorem 1.2.1 $0\in \mathbb{N}$。

Theorem 1.2.2 若$n\in\mathbb{N}$，则$n^+\in\mathbb{N}$。

由上述定义，这两条是显然的。但想要确定$\mathbb{N}$一定从起始元$0$开始计数，而不是有多个起始元，还要证明数学归纳法原理。

Theorem 1.2.3(数学归纳法原理) 令$P(x)$为一性质，则$P(0)\wedge\forall x\in\mathbb{N}(P(x)\to P(x^+))\to\forall x\in\mathbb{N}(P(x))$。

Proof 令$A\coloneqq\{n\in\mathbb{N}\colon P(n)\}$，且$P$满足$P(0)\wedge\forall x\in\mathbb{N}(P(x)\to P(x^+))$，则有$0\in A$。显然$A$是归纳集，则$\mathbb{N}\subset A$，又由$A$的定义，有$A\subset\mathbb{N}$，即$A=\mathbb{N}$。从而$\forall x\in\mathbb{N},x\in A$，即$P(x)$为真。 $\Box$

我们希望自然数集可以无休止的计数，而不是会“绕回已出现过的数”，下面两条就说明了这一事实。

Theorem 1.2.4 $\forall n,m\in\mathbb{N}(n\neq m\to n^+\neq m^+)$。

Proof 假设$n\neq m$且$n^+=m^+$，则有$\{n,\{n\}\}=\{m,\{m\}\}$。即$m=\{n\},n=\{m\}$，代入得$n=\{\{n\}\}$。
再考虑集合$\{n,m\}=\{n,\{n\}\}$，这与正则公理相矛盾，从而$n=m$。 $\Box$

Theorem 1.2.5 $\forall n\in\mathbb{N},0\neq n^+$。

Proof 任取$n\in\mathbb{N}$，$\{n\}\neq 0$，从而$n^+=n\cup\{n\}\neq 0$。 $\Box$

上述五条称为Peano公理。

$\S1.3$ 自然数系唯一性

公理化定义出来的自然数系与小学接触的十进制似乎长得不太一样，但可以证明，在集合论中，本质上只存在唯一的自然数系。

假设有一个自然数系$\mathbb{N}_*$，及$0_*$和这个自然数系上的增量运算$\oplus$，满足若$n\in\mathbb{N}_*$，则$n^\oplus\in\mathbb{N}_*$，并且也满足Peano公理。

为了辅助证明，先证明一个引理：

Lemma 1.3.1 $\forall N\in\mathbb{N}$，存在唯一一对$\mathbb{N}$的子集$A_N,B_N$，满足下述性质：
(a) $A_N\cap B_N=\emptyset$；
(b) $A_N\cup B_N=\mathbb{N}$；
(c) $0\in A_N$；
(d) $N^+\in B_N$；
(e) 只要$n\in B^+$，就有$n^+\in B_N$；
(f) 只要$n\in A_N$且$n\neq N$，就有$n^+\in A_N$。

Proof 令命题$P(x)$为$N=x$时该引理成立。
$N=0$时，取$A_0=\{0\},B_0=\mathbb{N}\backslash\{0\}$，显然满足上述性质。又由性质(d)、(e)，假设$A'_0,B'_0$满足上述性质，则$B'_0\subseteq B_0$，则只有$B'_0=B_0$与$B'_0=\mathbb{N}$两种情况，后者显然不符合，故$P(0)$为真。
设$P(N)$为真，则考虑对$N^+$， $A_N\cup\{N^+\},B_N\backslash\{N^+\}$显然是一对符合题意的集合，故$A_{N^+},B_{N^+}$存在性证毕。
归纳易知$N^+\in A_{N^+}$，考虑$A_{N^+}\backslash\{N^+\},B_{N^+}\cup\{N^+\}$，由定义易验证得 \[ A_{N^+}\backslash\{N^+\}=A_N,B_{N^+}\cup\{N^+\}=B_N, \] 由唯一性得$A_{N^+},B_{N^+}$存在且唯一。从而$P(N^+)$为真，由数学归纳法原理，该引理为真。 $\Box$

Theorem 1.3.1(递归定理) 设$f\colon \mathbb{N}\times A\to A$是一个函数，$c\in A$，存在唯一一个函数$a\colon \mathbb{N}\to A$，使得$a(0)=c$且$\forall n\in\mathbb{N}$，有$a(n^+)=f(n,a(n))$。

Proof 令命题$P(N)$为存在唯一的函数$a_N\colon A_N\to A$，使得$a_N(0)=c$且$a_N(n++)=f(n,a(n))$。
$N=0$时，显然$P(0)$为真。设$P(N)$为真，由Lemma 1.3.1的证明可知$A_{N^+}=A_N\cup\{N^+\}$，则令$a_{N^+}$为$n\in A_N$时$a_{N^+}(n)=a_N(n)$，$n=N^+$时$a_{N^+}(n)=f(N,a_N(N))$，因此$a_{N+1}$存在性证毕。
设有两个函数$a_{N^+},a'_{N^+}$满足条件，则$\forall n\in A_N,a_{N^+}(n)=a'_{N+}(n)$，否则将两个函数限制在$A_N$上就与$P(N)$相矛盾。又由 \[ a_{N^+}(n)=f(n,a_{N^+}(n))=f(n,a'_{N^+}(n))=a'_{N^+}(n) \] 得$a_{N^+}$唯一。从而$P(N^+)$为真，由数学归纳法原理，$\forall n\in\mathbb{N},P(n)$为真。
由$\forall N\in\mathbb{N},N\in A_N$，可设$a$为$a(N)=a_N(N)$，有
\[ \begin{align*} \forall N\in\mathbb{N},a(N^+)&=a_{N^+}(N^+)\\ &=f(n,a_N(N))\\ &=f(n,a(N)) \end{align*} \] 由Theorem 1.2.4和Theorem 1.2.5可知$a$是一个函数。由此可得$a$的存在性，而唯一性将$a$限制在$a_N$上即可得到。 $\Box$

Remark 该定理保证了归纳定义的正确性。

Theorem 1.3.2 存在一个双射$f\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N}_*$，使得$f(0)=0_*$，且$\forall n\in\mathbb{N},\forall n_*\in\mathbb{N}_*$，$f(n)=n_*$当且仅当$f(n^+)=n_*^\oplus$。

Proof 定义$\phi\colon \mathbb{N}\times\mathbb{N}_*\to\mathbb{N}_*$满足$\phi(n,m)=m^\oplus$，由Theorem 1.3.1，取$A=\mathbb{N}_*$，可得存在唯一的函数$f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}_*$，使得$f(0)=0_*$且$f(n^+)=\phi(n,f(n))$。
则有$f(n^+)=\phi(n,f(n))=f(n)^\oplus$，即$\forall n\in\mathbb{N}, n_*\in\mathbb{N}_*$，我们有$f(n)=n_*$当且仅当$f(n^+)=n_*^\oplus$。
设命题$P(n_*)$为存在$n\in\mathbb{N},f(n)=n^*$，显然$P(0_*)$为真。若$P(n_*)$为真，则$f(n^+)=f(n)^\oplus=n_*^{\oplus}$，即$P(n_*^{\oplus})$为真。由数学归纳法原理，$\forall n_*\in\mathbb{N}_*$，都存在$n\in\mathbb{N}$，使得$f(n)=n_*$，从而$f$是满射。
考虑命题$Q(m)$为 \[ \forall n\in\mathbb{N}(f(n)=f(m)\to n=m). \] 设命题$P_0(n)$为$f(n)=0_*\to n=0$，显然$P_0(0)$为真。若$P_0(n)$为真，则$f(n^+)=f(n)^\oplus$，由$\mathbb{N}_*$满足Peano公理，$f(n^+)\neq0_*$且$n^+\neq0$，从而$P(n^+)$为真。则$\forall n\in\mathbb{N}(f(n)=f(0)\to n=0)$，即$Q(0)$为真。
若$Q(m)$为真，考虑$m^+$，设命题$P_{m^+}(n)$为 \[ f(n)=f(m^+)\to n=m^+, \] 由$m^+\neq0$得$P_{m^+}(0)$为真。若$P_{m^+}(n)$为真，令$f(n^+)=f(m^+)$，即$f(n)^\oplus=f(m)^\oplus$，则$f(n)=f(m)$，由归纳假设，$n^+=m^+$。从而$P_{m^+}(n^+)$为真，即$\forall n\in\mathbb{N}(f(n)=f(m^+)\to n=m^+)$，得$Q(m^+)$为真。
由数学归纳法原理，$\forall n,m\in\mathbb{N}$，若$f(m)=f(n)$则$m=n$，即$f$为单射，从而$f$为双射。 $\Box$

自此，我们可以安心的使用定义出的自然数系了。

$\S1.4$ 自然数的加法与序

Definition 1.4.1 定义自然数的加法为映射$\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N},(m,n)\mapsto m+n$满足：
(a) $n,n+0=n $；
(b) $\forall n,m\in\mathbb{N},n^++m=(n+m)^+$。

由归纳易知加法有如下性质：
加法交换律 $\forall n,m\in\mathbb{N},n+m=m+n$；
加法结合律 $\forall a,b,c\in\mathbb{N},a+(b+c)=(a+b)+c$；
加法消去律 $\forall a,b,c\in\mathbb{N},a+b=a+c\Rightarrow b=c$ 。

有了加法的概念，就可以开始定义自然数的序了。

Definition 1.4.2 $\forall a,b\in\mathbb{N}$，定义$a\leq b$当且仅当$\exists c\in\mathbb{N},a+c=b$。

另外，若同时还满足$a\neq b$，则可以记作$a<b$。

显然$\mathbb{N}$是全序集，接着我们来证明$\mathbb{N}$还是良序集。

Theorem 1.4.1(最小自然数原理) 设$N$是$\mathbb{N}$的一个非空子集，则$\exists n\in N,\forall m\in N,n\leq m$。

Proof 若$0\in N$，由自然数的序的定义可知$\forall m\in N,0\leq m$。若$0\notin N$，我们先来归纳证明$\forall n\in\mathbb{N}\backslash\{0\},1\leq n$。
记命题$P(x)$为“$(\exists n_x\in\mathbb{N}(1+n_x=x))\vee(x=0)$”，易见$P(0)$为真。若$P(x)$为真，当$x=0$时由$1+0\leq 1$可得$P(x^+)$为真。当$x>0$时，$\exists n_x\in\mathbb{N}(1+n_x=x)$，则$x^+=(1+n_x)^+=1+n_x^+$，取$n_{x^+}=n_x^+$，得$P(x^+)$为真。综上，由数学归纳法原理，若$n\in\mathbb{N}$且$n\neq 0$，则$\exists n_x\in\mathbb{N}(1+n_x=x)$，即$1\leq x$。
因此，设 \[ M\coloneqq\{n\in\mathbb{N}\colon \forall m\in N(n\leq m)\}, \] 当$0\notin N$时，由上述结论可得$1\in M$。假设$\forall n\in m(n^+\in M)$，易见$0\in M$，归纳可知$M=\mathbb{N}$。但由于$N$非空，任取$x_0\in N,x_0<x_0^+$，因此$x_0^+\notin M$，矛盾。从而$\exists n_0\in M(n_0^+\notin M)$。对$n_0$，若$n_0\notin M$，则$\forall m\in N(n_0<m)$，易证$\forall m\in N(n_0^+\leq M)$，这与上述结论矛盾，因此$n_0\in M$，综上，证毕。 $\Box$

Theorem 1.4.2(第二数学归纳法) 设$P(n)$为自然数$n$的一个性质，若命题“若$P(x)$对所有小于$n$的自然数$x$为真，则$P(n)$为真”对任一自然数$n$均为真，且$P(0)$为真，则$P(n)$对所有自然数均为真。

Proof 令$S=\{n\in\mathbb N\colon P(n)$为假$\}$，若$S\neq\emptyset$，由最小自然数原理，存在自然数$m$使得$P(m)$为假。由$P(0)$为真得$m\neq 0$，则此时对任一小于$m$的自然数$x$，都有$P(x)$为真，这与引号中的命题矛盾，因此$S=\emptyset$，即对$P(n)$所有自然数$n$均为真。 $\Box$

$\S1.5$ 自然数的乘法

Definition 1.5.1 定义自然数的乘法为映射$\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N},(m,n)\mapsto m\cdot n$(简写为$mn$)满足：
(a) $\forall n\in\mathbb{N}(n\cdot 0=0)$；
(b) $\forall m,n\in\mathbb{N}(n^+\cdot m=n\cdot m+m)$。

由归纳易知乘法有如下性质：
乘法交换律 $\forall n,m\in\mathbb{N} n\cdot m=m\cdot n$；
乘法分配律 $\forall a,b,c\in\mathbb{N},a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca$；
乘法结合律 $\forall a,b,c\in\mathbb{N},(ab)c=a(bc)$。

二、整数

从代数的角度来看，自然数不存在加法逆元。下面我们引入整数，整数与其加法形成一个环。

$\S2.1$ 整数环

Definition 2.1.1 定义$\mathbb{N}\times\mathbb{N}$上的等价关系$\sim$：$\forall a,b,c,d\in\mathbb{N}((a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c)$。定义整数环$\mathbb{Z}\coloneqq(\mathbb{N}\times\mathbb{N})/\sim$，记$(a,b)$所在的等价类为$a\ominus b$。

先验证该等价关系满足相等的前三条公理，自反与对称是显然的，下证传递： \[ \begin{align*} \forall a,b,c,d,e,f\in\mathbb{N},&(a,b)\sim(c,d)\wedge(c,d)\sim(e,f)\\ \Rightarrow &a+d=c+b\wedge c+f=e+d\\ \Rightarrow &a+d+c+f=c+b+e+d\\ \Rightarrow &a+f=b+e\Rightarrow(a,b)\sim(e,f) \end{align*} \] 从而该等价关系满足自反、对称、传递，而替换公理在定义了整数环的基本运算后验证。

Definition 2.1.2 定义整数的加法$\forall a,b,c,d\in\mathbb{N},(a\ominus b)+(c\ominus d)\coloneqq(a+c)\ominus(c+d)$。

Theorem 2.1.1 $\mathbb{Z}$的加法是良定义的。

Proof 设$(a\ominus b)=(c\ominus d)$，则有$a+d=c+b$。 $\forall e,f\in\mathbb{N}$，要证$(a\ominus b)+(e\ominus f)=(c\ominus d)+(e\ominus f)$，只需证$(a+e)\ominus(b+f)=(c+e)\ominus(d+f)$ 即证$a+e+d+f=c+e+b+f$，在第一个等式两端加上$e,f$即可。 $\Box$

Definition 2.1.3 定义整数的乘法$\forall a,b,c,d\in\mathbb{N},(a\ominus b)\cdot(c\ominus d)\coloneqq(ac+bd)\ominus(ad+bc)$

Theorem 2.1.2 $\mathbb{Z}$的乘法是良定义的。

Proof 设$(a\ominus b)=(c\ominus d)$，则有$a+d=c+b$。考虑$\forall e,f\in\mathbb{N}$，要证$(a\ominus b)\cdot(e\ominus f)=(c\ominus d)\cdot(e\ominus f)$，只需证$(ae+bf)\ominus(af+be)=(ce+df)\ominus(cf+de)$ 即证$ae+bf+cf+de=ce+df+af+be$，整理得 $e(a+d)+f(b+c)=e(b+c)+f(a+d)$，由第一个等式，显然成立。 $\Box$

Definition 2.1.4 定义整数环上的序$(a\ominus b)\leq(c\ominus d)\iff a+d\leq c+b$

※ 易验证$\mathbb{Z}$的序是全序。

$\S2.2$ 减法

此时整数系已经有了自然数系上有的所有基本运算，所以可以开始尝试将整数系向熟知的形式转化了。

Theorem 2.2.1 记$\mathbb{N}_*=\{n\ominus 0\colon n\in\mathbb{Z}\}$，则$\mathbb{N}_*$与$\mathbb{N}$同构，即存在双射$f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}_*$满足：
(a) $\forall a,b\in\mathbb{N}$，$f(a+b)=f(a)+f(b)$；
(b) $\forall a,b\in\mathbb{N}$，$f(ab)=f(a)\cdot f(b)$；
(c) $\forall a,b\in\mathbb{N}$，$a\leq b\iff f(a)\leq f(b)$。

Proof 令$f(n)\coloneqq n\ominus0$，显然$f$是双射。
$f(a+b)=(a+b)\ominus 0=(a+b)\ominus(0+0)=(a\ominus0)+(b\ominus 0)=f(a)+f(b),$
$f(ab)=(ab)\ominus 0=(ab+0\cdot 0)\ominus(a\cdot0+b\cdot0)=(a\ominus0)\cdot(b\ominus 0)=f(a)\cdot f(b),$
$a\leq b\Rightarrow a+0\leq b+0\Rightarrow (a\ominus 0)\leq (b\ominus 0)\Rightarrow f(a)\leq f(b).$ $\Box$

因此，可以将$n\ominus 0$记作$n$。

Definition 2.2.1 定义整数的负运算$\forall (a\ominus b)\in\mathbb{Z},-(a\ominus b)\coloneqq(b\ominus a)$，$\forall n\in\mathbb{N}$，记$(0\ominus n)=-n$。

Theorem 2.2.2 $\mathbb{Z}$的负运算是良定义的。

Proof 设$(a\ominus b)=(c\ominus d)$，则有$a+d=c+b$，即$d+a=b+c$，得$(b\ominus a)=(d\ominus c)$
即$-(a\ominus b)=-(c\ominus d)$ $\Box$

易验证，$\mathbb{Z}=\{-n\colon n\in\mathbb{N}\}\cup\mathbb{N}$，特殊地，$0=-0$，因此现在可以抛弃之前搭的“脚手架”，改用惯用的表示法来表示整数了。

Definition 2.2.2 定义整数的减法$x-y\coloneqq x+(-y)$。

Remark 减法由整数系上的两个良定义：加法和负运算来定义，因此不需要验证遵循替换公理。

三、有理数

在整数环$\mathbb{Z}$中，每个整数都有了加法逆元，但不是每个整数都有乘法逆元。

$\S3.1$ 有理数域

Definition 3.1.1 定义$\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\backslash\{0\})$上的等价关系$\sim$：$\forall a,c\in\mathbb{Z}\forall b,d\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}((a,b)~(c,d)\iff(ad=cb))$。定义有理数域$\mathbb{Q}\coloneqq(\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\backslash\{0\}))$，记$(a,b)$所在的等价类为$a\oslash b$。

该等价关系的自反、反称也是显然的，下证传递性。 \[ \begin{align*} \forall a,b,c,d,e,f\in\mathbb{Z},&(a,b)\sim(c,d)\wedge(c,d)\sim(e,f)\\ \Rightarrow&ad=cb\wedge cf=ed\\ \Rightarrow&adcf=cbed\\ \Rightarrow&af=bd\Rightarrow(a,b)\sim(e,f) \end{align*} \] Definition 3.1.2 定义有理数的加法$\forall a,b,c,d\in\mathbb{Z},(a\oslash b)+(c\oslash d)\coloneqq (ad+cb)\oslash(bd)$。

Definition 3.1.3 定义有理数的乘法$\forall a,b,c,d\in\mathbb{Z},(a\oslash b)\cdot(c\oslash d)\coloneqq(ac)\oslash (bd)$。

Definition 3.1.4 定义有理数的负运算$\forall a,b\in\mathbb{Z},-(a\oslash b)\coloneqq(-a)\oslash b$。

Definition 3.1.5 定义有理数的减法$\forall a,b\in\mathbb{Q},a-b\coloneqq a+(-b)$。

类似$\S2.1$，易验证有理数的加法、乘法、负运算和减法都是良定义的。

Definition 3.1.6 定义有理数的序$\forall a,c\in\mathbb{Z},b,d\in\mathbb{Z}\backslash\{0\},(a\oslash b)\leq(c\oslash d)\iff(ad-cb)bd\leq0$

这里的$0$是整数环中的$0$，易验证有理数域$\mathbb{Q}$是全序的，因此有理数域$\mathbb{Q}$是一个有序域。

$\S3.2$ 除法

类似于之前对整数环的操作，我们考虑如下同构关系。

Theorem 3.2.1 记$1\coloneqq0^+,\mathbb{Z}_*=\{x\oslash1\colon x\in\mathbb{Z}\}$，则$\mathbb{Z}_*$与$\mathbb{Z}$同构。

Proof 令$f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_*$为$f(x)=x\oslash 1$。
$f(x+y)=(x+y)\oslash1=(x+y)\oslash(1\cdot 1)=(x\oslash 1)+(y\oslash 1)=f(x)+f(y),$
$f(xy)=(xy)\oslash1=(xy)\oslash(1\cdot 1)=(x\oslash1)(y\oslash 1)=f(x)f(y),$
$f(-x)=(-x)\oslash 1=-(x\oslash 1)=-f(x),$
$f(x-y)=(x-y)\oslash1=(x+(-y))\oslash(1\cdot 1)=x\oslash1-y\oslash 1=f(x)-f(y).$ $\Box$

因此，可以将$x\oslash 1$记作$x$。

易验证，$\forall a,b\in\mathbb{Z}\backslash\{0\},0\oslash a=0\oslash b$，因此$\mathbb{Q}$只有唯一的零元，由上述定理，该零元被记作$0$。

Definition 3.2.1 定义有理数的逆运算$\forall a,b\in\mathbb{Z}\backslash\{0\},(a\oslash b)^{-1}\coloneqq(b\oslash a)$。

显然这是良定义的。特殊地，$0$的倒数没有被定义。

Definition 3.2.2 定义有理数的除法$\forall a\in\mathbb{Q}\forall b\in\mathbb{Q}\backslash\{0\},a/b\coloneqq a\cdot b^{-1}$。

至此，所有有理数都可以用$a/b$来表示了，之前的“脚手架”又可以“拆除”了。

再定义有理数的幂运算：

Definition 3.2.3 $\forall x\in\mathbb{Q}\forall n\in\mathbb{N},x^0\coloneqq1,x^{n^+}\coloneqq x^n\cdot x,x^{-n}\coloneqq1/x^n$。

$\S3.3$ 有理数的绝对值与Cauchy序列

Definition 3.3.1 $m\in\mathbb{Z}$，称$\{n\in\mathbb{Z}\colon n\geq m\}$到$A$的一个映射是$A$的一个序列。记$a_n=f(n)$，该序列为$\{a_n\}_{n=m}^{\infty}$。

无特别说明，后文默认$m=1$，$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$简记为$\{a_n\}$。

Definition 3.3.2 设$F$是一个有序域，定义$F$的绝对值$\forall x\in F,|x|\coloneqq\max\{x,-x\}$。

易证$|x+y|\leq|x|+|y|$，称为绝对值的三角不等式。

Definition 3.3.3 设$F$是一个有序域，$c\in F$，$\forall \varepsilon\in F$且$\varepsilon>0$，$\exists N\in\mathbb{N}$，使得$\forall n\geq\mathbb{N},|a_n-c|<\varepsilon$，则称$\{a_n\}$收敛于$c$，也称这个数列是收敛的，记作$\lim_{n\to\infty}a_n=c$。

Definition 3.3.4 设$F$是一个有序域，$\forall \varepsilon\in F$且$\varepsilon>0$，$\exists N\in\mathbb{N},\forall n,m>N,|a_n-a_m|<\varepsilon$，则称$\{a_n\}$是$F$上的Cauchy序列。

Remark 不难证明，收敛数列一定是Cauchy序列。

$\S3.4$ 有理数的性质与不完备性

有理数域具有许多良好的性质，例如由代数知识，我们可以知道$\mathbb{Q}$是最小的有序域，即所有有序域都存在与$\mathbb{Q}$同构的子域，该结论的证明就不在分析笔记里讨论了。但它也是不完备的，所以才会要引入实数域。接下来讨论一下有理数的这些性质。

有理数的稠密性：$\forall x,y\in\mathbb{Q}(x<y\Rightarrow\exists z\in\mathbb{Q}(x<z<y))$。

Proof 取$z=(x+y)/2$，易验证$x<z<y$。 $\Box$

有理数的Archimedes性：$\forall x,y\in\mathbb{Q}$且$x,y>0$，$\exists n\in\mathbb{N},y<nx$。

Proof 只需考虑$x\leq y$时，不妨设$x=a/b,y=c/d$其中$a,b,c,d\in\mathbb{N}$。
取$n=bcd+b$，则$nx=a(c+1)$，有$(c-ac-a)d<(c-c-a)d=-ad<0$，
得$y<nx$。 $\Box$

具有Archimedes性的有序域称为Archimedes有序域。

关于有理数的不完备性的例子有很多，下面给出两个$\mathbb{Q}$的不完备性的例子：

设$A=\{x\in\mathbb{Q}\colon x^2<2\}$，则$A$有界但在$\mathbb{Q}$中无上确界。

Proof 显然$A$是有界集，假设$y=\sup A$分如下情况讨论：
(a) $y^2=2$时，不妨设$y=a/b$且$a,b$互素，有$a^2/b^2=2$，即$a^2=2b^2$，则$2|a$，可得$2\cdot 2|a^2$，即$2|b^2$，则$2|b$，这与$a,b$互素矛盾。
(b) $y^2>2$时，取 \[ z=y-\frac{y^2-2}{y+2}=\frac{2y+2}{y+2}=y-\frac{2}{y+2}<y, \] 有 \[ z^2-2=\frac{(2y+2)^2}{(y+2)^2}-2=\frac{2(y^2-2)}{(y+2)^2}>0, \] 则$z$也是$A$的上界。
又由$z<y$，这与$\sup A=y$矛盾。
(c) $y^2<2$时，取 \[ z=\frac{2-y^2}{y+2}+y>y, \] 我们有 \[ z^2-2=\frac{2(y^2-2)}{(y+2)^2}<0, \] 即$z\in A$，这与$y$是$A$的上界矛盾。
从而$y\notin\mathbb{Q}$。 $\Box$

设$\mathbb{Q}$的一个序列$\{a_n\}$为$a_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{n!}$，则$\{a_n\}$是Cauchy序列，但在$\mathbb{Q}$上不收敛。

Proof 任给$\varepsilon>0$，取$N={1}/{\varepsilon}$，不妨令$n<m$，则
\[ \begin{align*} |a_n-a_m|&=\sum_{i=n+1}^m\frac{1}{i!}\\ &＜\frac{1}{(n+1)!}\sum_{i=0}^{m-n-1}\frac{1}{(n+1)^i}\\ &=\frac{1}{(n+1)!}\cdot\frac{1-\frac{1}{(n+1)^{m-n}}}{1-\frac{1}{n+1}}\\ &<\frac{1}{n!\cdot n}\leq\frac{1}{n}<\frac{1}{N}=\varepsilon \end{align*} \] 从而$\{a_n\}$是Cauchy序列。
假设$\{a_n\}$收敛于$e\in\mathbb{Q}$，不妨设$e=\frac{p}{q},p,q\in\mathbb{N}$，则$q!e,q!a_q\in\mathbb{N}$。取$m=(q+1)!$，易证$a_q<e<a_m+\frac{2}{m}$。则 \[ q!e-q!a_q<q!(a_m-a_q)+\frac{q!\cdot 2}{m}<\frac{1}{q}+\frac{2}{(q+1)(q+2)}\leq\frac{1}{2}+\frac{1}{6}<1. \] 两个整数的间距必然大于1，因此$e\notin\mathbb{Q}$。 $\Box$

因此，有理数是不完备的，在下一篇笔记我们会从“任意有上界子集必有上确界”和“任意Cauchy序列必收敛”两条线开始着手构造实数域，并证明构造出的实数域同构。

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分析学笔记(2)从自然数系到有理数域

一、自然数

\(\S1.1\) 定义自然数

\(\S1.2\) Peano公理

\(\S1.3\) 自然数系唯一性

\(\S1.4\) 自然数的加法与序

\(\S1.5\) 自然数的乘法

二、整数

\(\S2.1\) 整数环

\(\S2.2\) 减法

三、有理数

\(\S3.1\) 有理数域

\(\S3.2\) 除法

\(\S3.3\) 有理数的绝对值与Cauchy序列

\(\S3.4\) 有理数的性质与不完备性