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承接上文,这一章主要阐述超平面间的距离、商空间范数与泛函的关系。特别地,我们引入了在超平面上泛函的范数的等价定义,并给出了泛函范数的几何意义:一个泛函的等值超平面之间的距离与泛函的值的差的比值。同时也解释了为什么一些问题总是约束\(\lVert l\rVert=1\)

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本篇内容是我发现的一个线性递推式的一个结论:令\(x_n=(a_{n+k-1},a_{n+k-2},\dots.,a_{n})^T\)对线性递推式\(a_{n}=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+\dots+c_ka_{n-k}\),一定存在一个非奇异对称矩阵\(B\),使得\(x_p^TBx_q=x_r^TBx_s\),若\(p+q=r+s\)。特殊地,存在一个非奇异对称矩阵\(C\),使得\(x_{n+m}=x_n^TCx_m\)

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如果让我一定要将一些内容划分成数学分析和实分析的话,那我会选择按他们所基于的“测度”来划分,即基于Jordan容度定义Riemann积分和基于Lebesgue测度定义Lebesgue积分。因此,我把这篇作为分析学笔记第一部分的最后一篇,其主要内容即为Jordan容度和Riemann积分。并且,本篇将会阐明:Lebesgue积分的完备性,绝对不是由分割值域代替分割定义域造成的,我们完全可以基于Jordan容度和分割值域给出一个Riemann积分的等价定义。而对于Riemann积分,笔记里只给出一些基本的性质,不做太多讨论了。

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讲完函数极限与连续性之后,我们将序列与级数和函数结合起来。在本章,我们考察将度量空间\((X,d_X)\)映入度量空间\((Y,d_Y)\)的函数序列收敛的含义,探讨它们的极限与一些其他的运算的联系。

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