因为后半学期不是太忙就是太摆，所以这一篇迟迟没有下笔。下笔后发现内容超出了我的预估，所以还是把序列和级数拆在两篇里了。

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一、序列极限

后文默认以某点为中心的开球为该点的一个邻域，序列有界即序列所有取值构成的集合有界。

$\S1.1$ 极限的性质

在上一篇中我们已经定义了度量空间上的序列收敛与极限，接着我们来讨论其性质。

Theorem 1.1.1 设$\{x_n\}$是度量空间$(X,d)$上的序列，则下述命题为真：
(a) $\{x_n\}$收敛于$y$当且仅当$y$的每个邻域外都只有$\{x_n\}$中的有限个项；
(b) 若$\{x_n\}$收敛于$y$且$\{x_n\}$收敛于$y'$，则$y=y'$；
(c) 若$\{x_n\}$收敛，则$\{x_n\}$有界；
(d) 若$E\subset X$且$y$是$E$的一个极限点，则$E$中有一个序列$\{x_n\}$使得$\lim\limits_{n\to\infty} x_n=y$。

Proof
(a) 若$\{x_n\}$收敛于$y$，任取$y$的一个邻域$B(y,\varepsilon)$，则$\exists N,\forall n>N,d(x_n,y)<\varepsilon$，即满足$n>N$的项$x_n$都在邻域中，因此只有少于$N$项在邻域外。
若$y$的每个邻域外都只有$\{x_n\}$中的有限个项，则$\forall\varepsilon>0$，令$B(y,\varepsilon)$外的项按原顺序为$\{x_{i_1},\dots,x_{i_k}\}$。令$N=i_k$，则$\forall n>N,d(x_n,y)<\varepsilon$，即$\lim\limits_{n\to\infty} x_n=y$。
(b) $\forall\varepsilon>0,\exists N_1,\forall n>N_1,d(x_n,y)<\frac{\varepsilon}{2}$且$\exists N_2,\forall n>N_2,d(x_n,y')<\frac{\varepsilon}{2}$，取$N=\min\{N_1,N_2\}$，则 \[ \forall n>N,d(y,y')\leq d(x_n,y)+d(x_n,y')<\varepsilon, \] 即$y=y'$。
(c) 设$\{x_n\}$收敛于$y$，取$\varepsilon=1$，则$\exists N,\forall n>N,d(x_n,y)<1$。令$D=\min\{d(x_1,y),\dots,d(x_n,y),1\}$，则有$\forall n\in\mathbb{N}^+,x_n\in B(y,D)$，即$\{x_n\}$有界。
(d) $\forall n\in\mathbb{N}^+$，由定义$B(y,\frac{1}{n})\cap E$非空，由选择公理可选取$x_n\in B(y,\frac{1}{n})\cap E$。$\forall\varepsilon>0$，取$N=[\frac{1}{\varepsilon}]+1$，则$\forall n>N,d(x_n,y)<\frac{1}{n}<\varepsilon$，即$\lim\limits_{n\to\infty} x_n=y$。 $\Box$

且由极限的定义易得以下定理：

Theorem 1.1.2 序列的有限项差异并不影响极限。

我们可以研究$\mathbb{R}^k$上的序列的收敛性与代数运算之间的关系，先考虑复数序列。

Theorem 1.1.3 设$\{x_n\},\{y_n\}$是复数序列，且$\lim\limits_{n\to\infty} x_n=x,\lim\limits_{n\to\infty}y_n=y$，则：
(a) $\lim\limits_{n\to\infty}(x_n+y_n)=x+y$；
(b) $\forall c\in\mathbb{C},\lim\limits_{n\to\infty} cx_n=cx,\lim\limits_{n\to\infty}(c+x_n)=c+x$；
(c) $\lim\limits_{n\to\infty}x_ny_n=xy$；
(d) 若$x_n\neq 0,\forall n\in\mathbb{N}^+$且$x\neq 0$，则$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{y_n}{x_n}=\frac{y}{x}$。

Proof
(a) $\forall\varepsilon>0,\exists N_1,N_2,\forall n>N_1,|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2},\forall n>N_2,|y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}$，取$N=\max\{N_1,N_2\}$，则有 \[ \forall n>N,|(x_n+y_n)-(x+y)|\leq|x_n-x|+|y_n-y|<\varepsilon. \] (b) $c=0$时显然成立，考虑$c\neq 0$，$\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{c}$，即$|cx_n-cx|<\varepsilon$，对$c+x_n$显然成立。
(c) 由Theorem 1.1.1可知$\{x_n\}$有界，不妨设$|x_n|<M$，则有 \[ \forall\varepsilon>0,\exists N_1,N_2,\forall n>N_1,|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2t},\forall n>N_2,|y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2M}, \] 取$N=\max\{N_1,N_2\}$，有
\[ \forall n>N,|x_ny_n-xy|=|x_n(y_n-y)+y(x_n-x)|\leq|x_n||y_n-y|+|y||x_n-x|\leq\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \] (d) 由(c)，只需证$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{x_n}=\frac{1}{x}$。对$\frac{|x|}{2}$， \[ \exists N_1,\forall n>N_1,|x|-|x_n|\leq|x_n-x|<\frac{|x|}{2}, \] 即$|x_n|>\frac{|x|}{2}$。同理 \[ \forall\varepsilon>0,\exists N_2,\forall n>N_2,|x_n-x|<\frac{|x|^2\varepsilon}{2}. \] 取$N=\max\{N_1,N_2\},\forall n>N,|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x}|=|\frac{x_n-x}{x_nx}|<\varepsilon$。 $\Box$

Theorem 1.1.4 设$\boldsymbol{x}_n\in\mathbb{R}^k,\forall n\in\mathbb N^+$，且$\boldsymbol{x}_n=(a_{1,n},\dots,a_{k,n})$，则$\{\boldsymbol{x}_n\}$收敛于$\boldsymbol{x}=(a_1,\dots,a_k)$当且仅当$\lim\limits_{n\to\infty}a_{i,n}=a_i,i=1,\dots,k$。

Proof 若$\{\boldsymbol{x}_n\}$收敛于$\boldsymbol{x}$，则有$|a_{i,n}-a_i|\leq|\boldsymbol{x}_n-\boldsymbol{x}|$，显然$\lim\limits_{n\to\infty}a_{i,n}=a_i,i=1,\dots,k$。
反之若$\lim\limits_{n\to\infty}a_{i,n}=a_i,i=1,\dots,k$，$\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,|a_{i,n}-a_i|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{k}},i=1,\dots,k$，则有
$\forall n>N,|\boldsymbol{x}_n-\boldsymbol{x}|=\{\sum_{i=1}^k|a_{i,n}-a_i|^2\}^{\frac{1}{2}}<\varepsilon$，即$\{\boldsymbol{x}_n\}$收敛于$\boldsymbol{x}$。 $\Box$

由Theorem 1.1.3和1.1.4，易得如下定理：

Theorem 1.1.5 设$\{\boldsymbol{x}_n\},\{\boldsymbol{y}_n\}$是$\mathbb{R}^k$上的序列，$\{a_n\}$是实数序列且$\boldsymbol{x}_n\to\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_n\to\boldsymbol{y},a_n\to a$，则有
$\lim\limits_{n\to\infty}(\boldsymbol{x}_n+\boldsymbol{y}_n)=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y},\lim\limits_{n\to\infty}(\boldsymbol{x}_n\cdot\boldsymbol{y}_n)=\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y},\lim\limits_{n\to\infty}a_n\boldsymbol{x}_n=a\boldsymbol{x}$。

$\S1.2$ 序列收敛性

我们先来考虑一个序列的子序列的收敛性。

Theorem 1.2.1 设$\{x_n\}$是一个序列，则$\{x_n\}$收敛于$x$当且仅当其任一子序列都收敛于$x$。

Proof 设$\{x_n\}$收敛于$x$，任取其一个子序列$\{x_{n_k}\}$，$\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,d(x_n,x)<\varepsilon$，取$n_{k_0}>N$，则有$\forall k>k_0,n_k>n_{k_0}>N$，即$d(x_{n_k},x)<\varepsilon$。
设$\{x_n\}$的任一子序列都收敛于$x$，由Theorem 1.1.2易见$\{x_n\}$收敛于$x$。 $\Box$

Theorem 1.2.2 设$\{x_n\}$是紧度量空间$(X,d)$上的一个序列，则$\{x_n\}$存在收敛到$X$的某个点的收敛子列。

Proof 设$E$为$\{x_n\}$的值域，若$E$为有限集，则$\{x_n\}$必然有恒为常值的子序列。若$E$为无限集，由紧集的性质可知$E$有极限点$x\in X$，任取$n_1$满足$d(x_{n_1},x)<1$。假设已经选定了$n_{k-1}$，由于$x$的每个邻域中都有无限多个$E$中的点，则必可取$n_k>n_{k-1}$满足$d(x_{n_k},x)<\frac{1}{k}$，从而得到了收敛到$x$的子列$\{x_{n_k}\}$。 $\Box$

Remark $\mathbb{R}^k$的有界序列必有收敛子列。

Definition 1.2.1 设$\{x_{n_k}\}$是$\{x_n\}$的一个收敛子序列，则$\{x_{n_k}\}$的极限称为$\{x_n\}$的部分极限。

Theorem 1.2.3 设$\{x_n\}$是度量空间$(X,d)$上的一个序列，则$\{x_n\}$所有部分极限组成的集合$E$是该度量空间上的一个闭集。

Proof 设$x$是$E$的一个极限点，$\{x_n\}$为恒为$x$的常值列时显然成立，否则取$x_{n_1}\neq x$，令$\delta=d(x_{n_1},x)$。
假设$x_{n_{i-1}}$已经被选取了，由$x$是$E$的极限点，必存在$x^i\in E$，满足$d(x^i,x)<\frac{\delta}{2i}$。取$x_{n_i}$满足$d(x_{n_i},x^i)<\frac{\delta}{2i}$，则有$d(x_{n_i},x)<\frac{\delta}{i}$即$\forall k\in\mathbb{N^+},d(x_{n_k},x)<\frac{\delta}{k}$，从而有$\{x_{n_k}\}$收敛于$x$，即$x\in E$，则$E$是闭集。

二、广义实数系与极限

我们先将实数域扩充成广义实数系，再讨论其上的极限，但我们仍只称$\mathbb{R}$中的元素为实数。

$\S2.1$ 广义实数系

我们将$\pm\infty$加入实数域，构成广义实数系。

Definition 2.1.1 定义$\mathbb{R^*}\coloneqq\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}$为广义实数系。

对于新加入的两个元素，我们定义其负运算和序。

Definition 2.1.2 定义负运算$-(+\infty)\coloneqq-\infty,-(-\infty)\coloneqq+\infty$。

Definition 2.1.3 设$x,y\in\mathbb{R^*}$，则$x\leq y$为真当且仅当下述三个命题之一为真：
(a) $x,y\in\mathbb{R}$且$x\leq y$；
(b) $y=+\infty$；
(c) $x=-\infty$。

接着，我们将确界的定义扩展到$\mathbb{R^*}$上。

Definition 2.1.4 设$E$是$\mathbb{R^*}$上的一个集合，按下述定义上确界$\sup E$：
(a) 若$E\subset\mathbb{R}$，且$E$有上界，则按照实数域中上确界的定义来定义$\sup E$，若$E$无上界，定义$\sup E\coloneqq+\infty$；
(b) 若$+\infty\in E$，定义$\sup E\coloneqq+\infty$；
(c) 若$+\infty\notin E$且$-\infty\in E$，定义$\sup E\coloneqq\sup(E\backslash\{-\infty\})$（可归入情况(a)）。

Definition 2.1.5 设$E$是$\mathbb{R^*}$上的一个集合，记$-E\coloneqq\{x\colon -x\in E\}$，定义$E$的下确界$\inf E\coloneqq-\sup(-E)$。

设$E$是$\mathbb{R}^*$的一个子集，易验证定义的$\mathbb{R^*}$上的确界有如下性质：
(a) $\forall x\in E,\inf E\leq x\leq\sup E$；
(b) 设$y\in\mathbb{R^*}$是$E$的一个上界，则$y\geq\sup E$；
(c) 设$y\in\mathbb{R^*}$是$E$的一个下界，则$y\leq\inf E$。

$\S2.2$ 实数极限的一些性质

在广义实数系上，我们给出如下定义：

Definition 2.2.1 设$\{x_n\}$是实数列，若$\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,x_n>\varepsilon$，则记为$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=+\infty$；$\lim\limits_{n\to\infty}(-x_n)=+\infty$时，定义$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=-\infty$。

Remark 以上两种情况虽然用了与前文定义的收敛序列相同的记号，但依旧是发散的，且仍是对实数列进行定义，序列中并不存在$\pm\infty$。

接着可以对Theorem 1.2.1做一个推广：

Theorem 2.2.1 设$\{x_n\}$是实数列，则$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$（包括$\pm\infty$）当且仅当其所有的子列的极限都是$x$。

接着来讨论$\mathbb{R}$上的序列收敛性。

Theorem 2.2.2 实数列必有单调子列。

Proof 任取一实数列$\{x_n\}$，构造指标集$S=\{k\in\mathbb{N}\colon \forall n\in\mathbb{N}(n>k\Rightarrow x_n>x_k)\}$，易知$S$至多可数。
若$S$为可数集，将$S$中元素升序排列为$n_1,n_2,\dots$，则$\{x_{n_k}\}$是一个递增序列。
若$S$为有限集，取$N=\max S+1$（特殊地，$S=\emptyset$时取$N=1$），令$x_{n_1}=N$，假设$x_{n_{i-1}}(n_{i-1}\geq N)$已经被确定，则必然存在$n_i\in\mathbb{N}$，使得$x_{n_i}\leq x_{n_{i-1}}$，由此$\forall k\in\mathbb{N},x_{n_k}\leq x_{n_{k+1}}$，即得到了一个递减序列。 $\Box$

Theorem 2.2.3(单调有界原理) 递增(递减)实数列收敛当且仅当该实数列有上(下)界。

Proof 设$\{x_n\}$是一个实数列。若$\{x_n\}$收敛则显然有界。不失一般性，设$\{x_n\}$递增且有上界，则$\{x_n\}$有上确界，令$x=\sup\{x_n\}$。
$\forall\varepsilon>0,\exists N,x-\varepsilon<x_N\leq x$，又由$\{x_n\}$递增，$\forall n>N,x-\varepsilon<x_N\leq x_n\leq x$，即$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$。 $\Box$

Remark 由上述两定理可直接导出致密性定理。

Theorem 2.2.4 无上(下)界数列必有极限为$+(-)\infty$的子列。

设$\{x_n\}$为无上界实数列，$\exists n_1,x_{n_1}>1$，若$x_{n_{k-1}}$已被选取，则$\exists n_k,x_{n_k}>\max\{k,x_1,x_1,\dots,x_{n_{k-1}}\}$ ，且由该定义得$n_k>n_{k-1}$，由此$\forall k\in\mathbb{N^+},x_{n_k}>k$，即$\lim\limits_{k\to\infty}x_{n_k}=+\infty$。同理可得无下界的情况。 $\Box$

Theorem 2.2.5 设$\{x_n\}$是实数列且$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x>0$，则$\forall 0<c<x,\exists N\in\mathbb{N},\forall n>N,x_n>c$。

Proof 取$\varepsilon=x-c$，则$\exists N,\forall n>N,|x_n-x|<x-c$，即$x_n>c$。 $\Box$

Theorem 2.2.6 设$\{x_n\}$是实数列，$x_n\neq0,\forall n\in\mathbb{N^+}$且$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\pm\infty$，则$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{x_n}=0$。

Proof 由$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\pm\infty$得，$\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,x_n>\frac{1}{\varepsilon}$，即$\frac{1}{x_n}<\varepsilon$，从而$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{x_n}=0$。 $\Box$

Theorem 2.2.7 设$\{x_n\},\{y_n\}$是实数列，$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$且$\{y_n\}$有界，则$\lim\limits_{n\to\infty}x_ny_n=0$。

Proof 设$|y_n|<M$，$\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,|x_n|<\frac{\varepsilon}{M}$，即$|x_ny_n|<\varepsilon$，从而$\lim\limits_{n\to\infty}x_ny_n=0$。 $\Box$

Theorem 2.2.8 设$(X,d)$是一个度量空间，$\{x_n\},\{y_n\}$是该度量空间的两个Cauchy序列，则实数列$\{d(x_n,y_n)\}$收敛。

Proof $\forall\varepsilon>0$，由Cauchy序列定义得$\exists N,\forall n,m>N,d(x_n,x_m)<\frac{\varepsilon}{2},d(y_n,y_m)<\frac{\varepsilon}{2}$，又由度量的定义易得，$|d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)|<d(x_n,x_m)+d(y_n,y_m)<\varepsilon$，即$\{d(x_n,y_n)\}$收敛。 $\Box$

$\S2.3$ 上极限与下极限

Definition 2.3.1 设$\{x_n\}$是实数列，$E$是其所有部分极限的集合，定义$\limsup\limits_{n\to\infty}x_n\coloneqq\sup E$为$\{x_n\}$的上极限，$\liminf\limits_{n\to\infty}x_n\coloneqq\inf E$为$\{x_n\}$的下极限。

Theorem 2.3.1 实数列的上极限与下极限是其部分极限。

Proof 当上极限与下极限为实数时，由定义及Theorem 1.2.3得成立。
设实数列$\{x_n\}$满足$\limsup\limits_{n\to\infty}x_n=+\infty$，取$E$中一个点$x^1>1$，则对以$x^1$为极限的子列$\{x_{n^1_i}\}$，必然存在$x_{n_1}>1$。假设$\{x_{n_{k-1}}\}$已经被选取，取$E$中一个点$x^k>k$，对以$x^k$为极限的子列$\{x_{n^k_i}\}$，必存在$n_k>n_{k-1}$且$x_{n_k}>k$。由此可得$\forall k\in\mathbb{N^+},x_{n_k}>k$，即该子列的极限为$+\infty$。对$\limsup\limits_{n\to\infty}x_n=-\infty$和$\liminf\limits_{n\to\infty}x_n=\pm\infty$做类似讨论即可。 $\Box$

由定义可直接得出以下定理：

Theorem 2.3.2 设$\{x_n\}$是实数列，则$\liminf\limits_{n\to\infty} x_n\leq\limsup\limits_{n\to\infty} x_n$

Theorem 2.3.3 设$\{x_n\}$是实数列，若$y>\limsup\limits_{n\to\infty}x_n$，则$\exists N,\forall n>N,x_n<y$，若$y<\liminf\limits_{n\to\infty}x_n$，则$\exists N,\forall n>N,x_n>y$。

Proof 假设$\{x_n\}$中有无穷多项大于等于$y$，考虑这些项构成的子列，若其无上界，由Theorem 2.2.4，该子列必然存在一个子列极限为$+\infty$，否则若其有界，则由致密性定理，该子列必然有一个收敛子列$\{x_{n_k}\}$，当$y=-\infty$时，显然与上极限定义矛盾，否则设$\lim\limits_{k\to\infty}x_{n_k}=z$，$\forall\varepsilon>0,\exists N,z>x_N-\varepsilon\geq y-\varepsilon$，即$z\geq y$，从而$\{x_n\}$有一个大于上极限的部分极限，这与上极限定义矛盾，因此$\{x_n\}$只有有限项大于$y$，即$\exists N,\forall n>N,x_n<y$。下极限情况同理可证。 $\Box$

Theorem 2.3.4 设$\{x_n\}$是实数列，则$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$（包括$\pm\infty$）当且仅当$\limsup\limits_{n\to\infty}x_n=\liminf\limits_{n\to\infty}x_n$，且此时它们均等于$x$。

Proof 当$\{x_n\}$有极限$x$时，由Theorem 2.2.1得$\{x_n\}$只有一个部分极限$x$，且由上下极限的定义得$\limsup\limits_{n\to\infty}x_n=\liminf\limits_{n\to\infty}x_n=x$。
当$\limsup\limits_{n\to\infty}x_n=\liminf\limits_{n\to\infty}x_n=x$时，分下述情况讨论：
(a) $x\neq\pm\infty$时，由Theorem 2.3.3，$\forall\varepsilon>0,\exists N_1,\forall n>N_1,x_n<x+\varepsilon$且$\exists N_2,\forall n>N_2,x-\varepsilon<x_n$，易见$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$。
(b) $x=+\infty$时，$\forall\varepsilon>0$，假设$\{x_n\}$有无限项小于$\varepsilon$，考虑这些项构成的子列，若有下界则由致密性，该子列必有一个收敛子列，这与下极限为$+\infty$矛盾。若无下界，由Theorem 2.2.4，同理可导出矛盾。因此$\{x_n\}$只有有限项小于$\varepsilon$，则$\exists N,\forall n>N,x_n>\varepsilon$，即$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=+\infty$。
$x=-\infty$时同理可证。 $\Box$

Theorem 2.3.5 设$\{x_n\},\{y_n\}$是实数列，且$\exists N,\forall n>N,x_n\leq y_n$，则$\limsup\limits_{n\to\infty}x_n\leq\limsup\limits_{n\to\infty}y_n$且$\liminf\limits_{n\to\infty}x_n\leq\liminf\limits_{n\to\infty}y_n$。

Proof 令$\limsup\limits_{n\to\infty}x_n=x,\limsup\limits_{n\to\infty}y_n=y$，假设$x>y$。
(a) 当$x,y\in\mathbb{R}$时，取$\varepsilon=\frac{x-y}{2}$，由Theorem 2.3.3，$\exists N,\forall n>N,y_n<y+\varepsilon=\frac{x+y}{2}$。又由$x$是$\{x_n\}$的一个部分极限，则存在一个子列$\{x_{n_k}\}$极限为$x$，即$\exists N,\forall k>N,x_{n_k}>x-\varepsilon=\frac{x+y}{2}>y_{n_k}$。易见这与$\exists N,\forall n>N,x_n<y_n$矛盾。
(b) 当$x=+\infty$时，由$x>y$得$y\neq+\infty$，由Theorem 2.2.4，$\{y_n\}$存在上界$M$，而$x$存在极限为$+\infty$的子列$\{x_{n_k}\}$，则$\exists N,\forall k>N,x_{n_k}>G\leq y_{n_k}$，易见这与$\exists N,\forall n>N,x_n<y_n$矛盾。
因此，$x\leq y$。同理可得$\liminf\limits_{n\to\infty}x_n\leq\liminf\limits_{n\to\infty}y_n$。 $\Box$

借助上述两个定理，我们可以很快证明下述两个定理：

Theorem 2.3.6 设${x_n},{y_n} $是实数列，${n}x_n=x,{n}y_n=y$，满足$N,n>N,x_ny_n$，则$xy$。

Proof 由Theorem 2.3.4和2.3.5，$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\limsup\limits_{n\to\infty}x_n\leq\limsup\limits_{n\to\infty}y_n=\lim\limits_{n\to\infty}y_n$。 $\Box$

Theorem 2.3.7(Sandwich定理) 设$\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$是实数列且$x_n\to x,z_n\to x$，满足$\exists N\in\mathbb{N},\forall n>N,x_n\leq y_n\leq z_n$，则$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=x$。

Proof 由Theorem 2.3.4和2.3.5，$x=\limsup\limits_{n\to\infty}x_n\leq\limsup\limits_{n\to\infty}y_n=\lim\limits_{n\to\infty}y_n=\limsup\limits_{n\to\infty}y_n\leq\limsup\limits_{n\to\infty}z_n=x$。 $\Box$

进一步，我们给出上下极限的一些不等式。

Theorem 2.3.8 设$\{x_n\},\{y_n\}$是实数列且上下极限都是实数，则 \[ \begin{align*} \liminf\limits_{n\to\infty}x_n+\liminf\limits_{n\to\infty}y_n&\leq\liminf\limits_{n\to\infty}(x_n+y_n)\leq\limsup\limits_{n\to\infty}x_n+\liminf\limits_{n\to\infty}y_n\\&\leq\limsup\limits_{n\to\infty}(x_n+y_n)\leq\limsup\limits_{n\to\infty}x_n+\limsup\limits_{n\to\infty}y_n. \end{align*} \]

Proof 先证明$\limsup\limits_{n\to\infty}x_n+\liminf\limits_{n\to\infty}y_n\leq\limsup\limits_{n\to\infty}(x_n+y_n)\leq\limsup\limits_{n\to\infty}x_n+\limsup\limits_{n\to\infty}y_n$，令$\limsup\limits_{n\to\infty}x_n=x,\liminf\limits_{n\to\infty}y_n=y$。由Theorem 2.3.3， \[ \forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,x_n<x+\varepsilon, \] 则$x_n+y_n<x+y_n+\varepsilon$，从而$\limsup\limits_{n\to\infty}(x_n+y_n)\leq x+\limsup\limits_{n\to\infty}y_n+\varepsilon$，即 \[ \limsup\limits_{n\to\infty}(x_n+y_n)\leq\limsup\limits_{n\to\infty}x_n+\limsup\limits_{n\to\infty}y_n. \] $\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,y_n>y-\varepsilon$，则$x_n+y<x_n+y_n+\varepsilon$，从而 \[ \limsup\limits_{n\to\infty}x_n+\liminf\limits_{n\to\infty}y_n\leq\limsup\limits_{n\to\infty}(x_n+y_n)+\varepsilon, \] 即$\limsup\limits_{n\to\infty}x_n+\liminf\limits_{n\to\infty}y_n\leq\limsup\limits_{n\to\infty}(x_n+y_n)$。下极限情况同理可证。 $\Box$

从而我们可以得到如下运算性质：

Theorem 2.3.9 设$\{x_n\},\{y_n\}$是实数列且上下极限都是实数，$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$，则$\limsup\limits_{n\to\infty}(x_n+y_n)=x+\limsup\limits_{n\to\infty}y_n$，$\liminf\limits_{n\to\infty}(x_n+y_n)=x+\liminf\limits_{n\to\infty}y_n$。

Proof 由Theorem 2.3.8， \[ \begin{align*} x+\limsup\limits_{n\to\infty}y_n&=\liminf\limits_{n\to\infty}x_n+\limsup\limits_{n\to\infty}y_n\\ &\leq\limsup\limits_{n\to\infty}(x_n+y_n)\\ &\leq\limsup\limits_{n\to\infty}x_n+\limsup\limits_{n\to\infty}y_n\\ &=x+\limsup\limits_{n\to\infty}y_n, \end{align*} \] 从而有$\limsup\limits_{n\to\infty}(x_n+y_n)=x+\limsup\limits_{n\to\infty}y_n$。下极限情况同理可证。 $\Box$

Theorem 2.3.10 设$\{x_n\},\{y_n\}$是实数列且$\{y_n\}$上下极限都是实数，$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$是非负实数，则$\limsup\limits_{n\to\infty}x_ny_n=x\limsup\limits_{n\to\infty}y_n,\liminf\limits_{n\to\infty}x_ny_n=x\liminf\limits_{n\to\infty}y_n$。

Proof 先考虑$x=0$时，由Theorem 2.2.4，$\{y_n\}$有界，从而由Theorem 2.2.7，$\lim\limits_{n\to\infty}x_ny_n=0$，即可得成立。
易见$\limsup\limits_{n\to\infty}x\cdot y_n=x\limsup\limits_{n\to\infty}y_n$，从而$\limsup\limits_{n\to\infty}x_ny_n=\limsup\limits_{n\to\infty}(x_n-x)y_n+\limsup\limits_{n\to\infty}x\cdot y_n=x\limsup\limits_{n\to\infty}y_n$。下极限同理可得成立。 $\Box$

有了这些运算性质，很容易就能证明O'Stolz定理。

Theorem 2.3.11(O'Stolz定理) 设$\{x_n\},\{y_n\}$是实数列且$\{y_n\}$满足(a) $y_n\neq 0,\forall n\in\mathbb{N^+}$；(b) $\{y_n\}$严格单调递增；(c) $\lim\limits_{n\to\infty}y_n=+\infty$，则$\liminf\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}\leq\liminf\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}\leq\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}\leq\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$。

Proof 先证明$\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}\leq\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$，令$L=\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$。
(a) $L\in\mathbb{R}$时，$\forall\varepsilon>0$，由Theorem 2.3.3，$\exists N,\forall n>N,\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}<L+\varepsilon$，由$\{y_n\}$严格递增得$y_{n+1}-y_n>0$恒成立，则 \[ x_{n+1}-x_n<(L+\varepsilon)(y_{n+1}-y_n),\forall n>N, \] 累加得$\forall n>N,x_{n+1}-x_{N+1}<(L+\varepsilon)(y_{n+1}-y_{N+1})$，整理得 \[ \frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}-\frac{x_{N+1}}{y_{n+1}}<(L+\varepsilon)(1-\frac{y_{N+1}}{y_{n+1}}). \] 由Theorem 2.2.6和2.3.4得，$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{y_n}=0$，又由Theorem 2.3.6，2.3.9和2.3.10， \[ \limsup\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}<L+\varepsilon, \] 即$\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}\leq L$。
(b) $L=+\infty$时，不等式必然成立($+\infty$是$\mathbb{R^*}$中的最大元)。
(c) $L=-\infty$时，同(a)可得$\forall\varepsilon>1,\exists N_1,\forall n>N_1,\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}-\frac{x_{N_1+1}}{y_{n+1}}<(-3\varepsilon)(1-\frac{y_{N_1+1}}{y_{n+1}})$，且 \[ \exists N_2>N_1,\forall n>N_2,y_{n+1}>2\max\{0,x_{N_1+1},y_{N_1+1}\}, \] 则$\forall n>N_1,\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}<\frac{x_{N_1+1}}{y_{n+1}}+(-3\varepsilon)(1-\frac{y_{N_1+1}}{y_{n+1}})<\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\varepsilon<-\varepsilon$，即$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=-\infty$，从而不等式成立。同理，对下极限讨论可得$\liminf\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}\leq\liminf\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}$，结合Theorem 2.3.5即可得定理成立。 $\Box$

Remark 如果极限$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$存在，由上述不等式即可得$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}$存在且与$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$相等，这即O'Stolz定理常见的形式。

运用O'Stolz定理可以很轻松的证明Cauchy命题。

Theorem 2.3.12(Cauchy命题) 设$\{x_n\}$是实数列且$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$，则$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sum\limits_{k=1}^nx_k}{n}=x$。

Proof 由O'Stolz定理，$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sum\limits_{k=1}^nx_k}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=x$。 $\Box$

三、度量空间的完备化

我们考虑度量空间$(X,d)$，其上所有Cauchy序列的集合为$X_c$

Definition 3.1 设$(X^*,\rho)$是一个度量空间，若映射$\sigma\colon X\to X^*$满足$d(x,y)=\rho(\sigma(x),\sigma(y))$，则称$\sigma$是$X$到$X^*$的一个保距映射。

Definition 3.2 设$(X^*,\rho)$是一个完备度量空间，若存在$X$到$X^*$的一个保距映射$\sigma$且$\sigma(X)$在$X^*$中稠密，则称$(X^*,\rho)$为$(X,d)$的完备化。

Definition 3.3 定义$X_c$上的等价关系$\sim$：$\forall \{x_n\},\{y_n\}\in X_c(\{x_n\}\sim\{y_n\}\iff\lim\limits_{n\to\infty}d(x_n,y_n)=0)$。

先验证这是一个等价关系，自反性和对称性由Cauchy序列和距离函数的定义易见，下证传递性： \[ \begin{align*} \forall\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}\in X^c,&(\{x_n\}\sim\{y_n\})\wedge(\{y_n\}\sim\{z_n\})\\ \Rightarrow&\lim\limits_{n\to\infty}d(x_n,y_n)=0\wedge\lim\limits_{n\to\infty}d(y_n,z_n)=0\\ \Rightarrow&\lim\limits_{n\to\infty}d(x_n,z_n)\leq\lim\limits_{n\to\infty}d(x_n,y_n)=0+\lim\limits_{n\to\infty}d(y_n,z_n)=0\\ \Rightarrow&\lim\limits_{n\to\infty}d(x_n,z_n)=0. \end{align*} \] Definition 3.4 定义$X^*\coloneqq X_c/\sim$，$\forall x,y\in X^*$，令$\{x_n\}\in x,\{y_n\}\in y$，定义映射$\rho\colon X^*\to\mathbb{R}$为$\rho(x,y)=\lim\limits_{n\to\infty}d(x_n,y_n)$。

Remark 由Theorem 2.2.8可知$\lim\limits_{n\to\infty}d(x_n,y_n)$必然存在。

Theorem 3.1 上述定义的$\rho$是一个度量。

Proof $\forall x,y,z\in X^*$，由度量的定义得$\rho(x,x)=0,\rho(x,y)\geq0$。令$\{x_n\}\in x,\{y_n\}\in y,\{z_n\}\in z$， \[ \begin{align*} \rho(x,z)=\lim\limits_{n\to\infty}d(x_n,z_n)&\leq\lim\limits_{n\to\infty}[d(x_n,y_n)+d(y_n,z_n)]\\ &\leq\lim\limits_{n\to\infty}d(x_n,y_n)+\lim\limits_{n\to\infty}d(y_n,z_n)\\ &=\rho(x,y)+\rho(y,z), \end{align*} \] 从而$\rho$是一个度量。 $\Box$

由此得到$(X^*,\rho)$是一个度量空间。

Definition 3.5 定义映射$\sigma\colon X\to X^*$将$x$映射到恒为$x$的常值序列所在的等价类。

Theorem 3.2 $\sigma$是一个保距映射。

Proof $\forall x,y\in X,\rho(\sigma(x),\sigma(y))=\lim\limits_{n\to\infty}d(x,y)=d(x,y)$。 $\Box$

Theorem 3.3 $\sigma(X)$在$X^*$中稠密。

Proof $\forall x\in X^*$，令$\{x_n\}\in x$，$\forall\varepsilon>0$，由于$\{x_n\}$是Cauchy序列，$\exists N,\forall n>N,d(x_n,x_N)<\frac{\varepsilon}{2}$，令$y$是恒为$x_N$的常值序列，则$\rho(x,y)=\lim\limits_{n\to\infty}d(x_n,x_N)\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$。 $\Box$

Theorem 3.4 $(X^*,\rho)$是完备的。

Proof 设$\{\xi_n\}$是$X^*$上的一个Cauchy序列，由Theorem 3.3，$\forall n\in\mathbb{N},\exists x_n\in X,\rho(\sigma(x_n),\xi_n)<\frac{1}{n}$。
$\forall\varepsilon>0,\exists N_0,\forall n,m>N_0,\rho(\xi_n,\xi_m)<\frac{\varepsilon}{2}$，令$N=\max\{N_0,[\frac{4}{\varepsilon}]\},\forall n>N$，我们有 \[ d(x_n,x_m)=\rho(\sigma(x_n),\sigma(x_m))\leq\rho(\sigma(x_n),\xi_n)+\rho(\xi_n,\xi_m)+\rho(\xi_m,\sigma(x_m))<\frac{1}{n}+\frac{\varepsilon}{2}+\frac{1}{m}<\varepsilon, \] 即$\{x_n\}$是$X$上的Cauchy序列，设其所在的等价类为$x$，则 \[ \forall n\in\mathbb{N^+},\rho(x,\xi_n)\leq\rho(\sigma(x_n),\xi_n)+\rho(\sigma(x_n),x)<\frac{1}{n}+\lim\limits_{m\to\infty}d(x_n,x_m). \] $\forall\varepsilon>0,\exists q,\forall p>q,d(x_p,x_q)<\frac{\varepsilon}{2}$，取 \[ N_2=\max\{[\frac{2}{\varepsilon}],q\},\forall n>N_2,\rho(x,\xi_n)<\frac{1}{n}+\lim\limits_{m\to\infty}d(x_n,x_m)<\varepsilon, \] 即$\lim\limits_{n\to\infty}\xi_n=x$，从而$(X^*,\rho)$是完备的。 $\Box$

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分析学笔记(5)序列极限与度量空间完备化

一、序列极限

\(\S1.1\) 极限的性质

\(\S1.2\) 序列收敛性

二、广义实数系与极限

\(\S2.1\) 广义实数系

\(\S2.2\) 实数极限的一些性质

\(\S2.3\) 上极限与下极限

三、度量空间的完备化