分析学笔记(7)函数极限与连续性

这份笔记比预期的整理慢了不少，因此也就不多废话了。

\[\require{mathtools}\]

一、函数极限与连续

\(\S1.1\) 函数极限与连续

Definition 1.1.1 令\((X,d_X),(Y,d_Y)\)是度量空间，\(E\subset X\)且\(p\)是\(E\)的一个极限点，对映射\(f\colon E\to Y\)，若\(\forall\varepsilon,\exists\delta,\forall x\in E(0<d_X(x,p)<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),q)<\varepsilon)\)，则\(f\)在\(p\)的极限为\(q\)，记作\(\lim\limits_{x\to p}f(x)=q\)。

Remark 注意，上述定义并没有要求\(p\in E\)。

Heine定理从序列收敛角度刻画了函数极限。

Theorem 1.1.1(Heine定理) 对上述定义的函数\(\lim\limits_{x\to p}f(x)=q\)当且仅当对任意\(E\)中满足\(p_n\neq p,\forall n\in\mathbb{N}^+\)且\(\lim\limits_{n\to\infty}p_n=p\)的序列\(\{p_n\}\)，有\(\lim\limits_{n\to\infty}f(p_n)=q\)。

• Proof 若\(\lim\limits_{x\to p}f(x)=q\)，则 \[ \forall\varepsilon>0,\exists\delta,\forall x\in E(0<d_X(x,p)<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),q))<\varepsilon, \] 对任意满足上述条件的序列\(\{p_n\}\)，\(\exists N,\forall n>N,0<d_X(p,p_n)<\delta\)，从而\(d_Y(f(p_n),q)<\varepsilon\)，即\(\lim\limits_{n\to\infty}f(p_n)=q\)。
  反之，假设\(\lim\limits_{x\to p}f(x)\neq q\)，则\(\exists\varepsilon>0\)，考虑\(\forall n\in\mathbb{N^+}\)，取\(\delta_n=\frac{1}{n}\)，则\(\exists x_n,d_Y(f(x_n),q)\geq\varepsilon\)但\(0<d_X(x,p)<\delta\)。对序列\(\{x_n\}\)，就有\(x_n\neq p,\forall n\in\mathbb{N}^+\)且\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=p\)但\(\lim\limits_{n\to\infty}f(p_n)\neq q\)，与已知矛盾，从而\(\lim\limits_{x\to p}f(x)=q\)。 \(\Box\)

Remark 由Heine定理结合之前序列极限的一些性质，函数极限的很多性质就很显然了，例如如下运算法则。
(a) \(\lim\limits_{x\to p}[f(x)+g(x)]=\lim\limits_{x\to p}f(x)+\lim\limits_{x\to p}g(x)\)；
(b) \(\lim\limits_{x\to p}[f(x)g(x)]=\lim\limits_{x\to p}f(x)\lim\limits_{x\to p}g(x)\)；
(c) 若\(\lim\limits_{x\to p}g(x)\neq 0\)，则\(\lim\limits_{x\to p}[f(x)/g(x)]=\lim\limits_{x\to p}f(x)/\lim\limits_{x\to p}g(x)\)。

Definition 1.1.2 令\((X,d_X),(Y,d_Y)\)是度量空间，\(E\subset X\)且\(p\in E\)，对映射\(f\colon E\to Y\)，若\(\forall\varepsilon>0,\exists\delta,\forall x\in E(d_X(x,p)<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(p))<\varepsilon)\)，则称\(f\)在点\(p\)连续。若\(f\)在\(E\)的每一点都连续，则称\(f\)在\(E\)上连续。

Remark 若\(p\)是\(E\)的一个孤立点，则\(p\)一定连续。

由定义可以直接得出下述定理。

Theorem 1.1.2 若\(f\)在点\(p\)连续且\(p\)是定义域的一个极限点，则\(\lim\limits_{x\to p}f(x)=f(p)\)。

Theorem 1.1.3 令\((X,d_X),(Y,d_Y),(Z,d_Z)\)是度量空间，有\(E\subset X\)且\(p\in E\)，对映射\(f\colon E\to Y\)与\(g\colon f(E)\to Z\)，若\(f\)在点\(p\)连续，\(g\)在点\(f(p)\)连续，则\(g\circ f\)在点\(p\)连续。

• Proof \(\forall\varepsilon>0\)，由\(g\)在\(f(p)\)连续，\(\exists\eta>0,\forall y\in f(E)(d_Y(y,f(p))<\eta\Rightarrow d_Z(g(y),(g\circ f)(p))<\varepsilon))\)。又由\(f\)在\(p\)连续，有 \[ \exists\delta>0,\forall x\in E(d_X(x,p)<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(p))<\eta), \] 从而\(\forall x\in E(d_X(x,p)<\delta\Rightarrow d_Z((g\circ f)(x),(g\circ f)(p))<\varepsilon)\)，即\(g\circ f\)在点\(p\)连续。 \(\Box\)

Remark 事实上，不难发现在讨论从一个度量空间到另一个度量空间的函数的连续性时，该函数的定义域的余集并没有任何作用（这与函数极限不同），因此在讨论连续性时我们可以只考虑其定义域为一个度量空间。

Theorem 1.1.4 令\((X,d_X),(Y,d_Y)\)是度量空间，对映射\(f\colon X\to Y\)，\(f\)在\(X\)上连续当且仅当对\(Y\)中的每个开集\(V\)，\(f^{-1}(V)\)是\(X\)中的开集。

• Proof 设\(f\)在\(X\)上连续且\(V\)是\(Y\)中的开集。考虑\(p\in X\)且\(f(p)\in V\)，则\(\exists\varepsilon>0\)，使得\(B_Y(f(p),\varepsilon)\subset V\)。由\(f\)的连续性，\(\exists\delta>0,\forall x\in B_X(p,\delta),f(x)\in B_Y(f(p),\varepsilon)\)，则易见\(f(x)\in f^{-1}(V)\)，即\(p\)是\(f^{-1}(V)\)的一个内点，从而\(f^{-1}(V)\)是开集。
  若对\(Y\)中任意开集\(V\)，\(f^{-1}(V)\)都是\(X\)中的开集。任取\(p\in X\)，\(\forall\varepsilon>0\)，有\(B_Y(f(p),\varepsilon)\)是开集，令其为\(V\)。从而\(f^{-1}(V)\)是开集，即\(\exists\delta>0,B_X(p,\delta)\subset f^{-1}(V)\)。此时\(B_X(p,\delta)\)中的\(x\)都有\(d(f(x),f(p))<\varepsilon\)，即\(f\)在\(p\)处连续。 \(\Box\)

Remark 在该定理条件下，\(f\)在\(X\)上连续当且仅当对\(Y\)中的每个闭集\(C\)，\(f^{-1}(C)\)是\(X\)中的闭集。

接着来考虑欧氏空间上的情况。

易见当\(f,g\)是复值函数时，\(f(x)+g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)\)都是连续函数。

设\(f_1,\dots,f_k\)是度量空间\((X,d)\)上的实函数，考虑\(\mathbb{R}^k\)上的函数\(\boldsymbol{f}(x)=(f_1(x),\dots,f_k(x))\)，由不等式 \[ |\boldsymbol{f}(x)-\boldsymbol{f}(y)|=\sqrt{\sum_{i=1}^k[f_i(x)-f_i(y)]^2}\geq|f_j(x)-f_j(y)| \] 可知\(\boldsymbol{f}\)连续当且仅当\(f_1,\dots,f_k\)都连续。

由此，易证\(\mathbb{C}\)上的多项式函数都是\(\mathbb{C}\)上的连续函数。

最后，我们给出高阶无穷小量的概念。

Definition 1.1.3 设\(f\)，\(g\)是实函数且\(\lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}g(x)=0\)，若\(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0\)，则称在\(x\to a\)时\(f\)是\(g\)的高阶无穷小量，记作\(f(x)=o(g(x))\)；若\(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=C(\neq0)\)，则称\(f\)是\(g\)的同阶无穷小量；若\(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb{R}\)，则记作\(f(x)=O(g(x))\)。

二、连续性

\(\S2.1\) 连续与度量空间

Definition 2.1.1 \((Y,d_Y)\)是度量空间，称映射\(\boldsymbol{f}\colon X\to Y\)是有界的，若\(\exists M\in\mathbb{R},y\in Y,\forall x\in X,d_Y(\boldsymbol{f}(x),y)<M\)。

Theorem 2.1.1 设\(f\)是把紧度量空间\(X\)映入度量空间\(Y\)的连续映射，则\(f(X)\)是紧的。

• Proof 设\(\{V_\alpha\}\)是\(f(X)\)的一个开覆盖，由\(f\)连续得所有\(f^{-1}(V_\alpha)\)是开的。又由\(X\)的紧性得存在\(X\)的有限开覆盖\(f^{-1}(V_{\alpha_1}),\dots,f^{-1}(V_{\alpha_n})\)。又考虑\(Y\)的任意一个集合\(E\)都有\(f(f^{-1}(E))\subset E\)，从而\(f(X)\subset \bigcup\limits_{i=1}^n f(f^{-1}(V_{\alpha_i}))\subset \bigcup\limits_{i=1}^nV_{\alpha_i}\)，即\(f(X)\)是紧的。 \(\Box\)

结合以前对紧集和欧氏空间的讨论，由该定理可以直接导出如下两个结论。

Theorem 2.1.2 设\(f\)是把紧度量空间\(X\)映入的欧氏空间\(\mathbb{R}^k\)连续映射，则\(f(X)\)是有界闭集。

Theorem 2.1.3 设\(f\)是把紧度量空间\(X\)映入的\(\mathbb{R}\)连续映射，则\(\sup f(X),\inf f(X)\in f(X)\)。

Theorem 2.1.4 设\(f\)是把紧度量空间\(X\)映入度量空间\(Y\)的连续双射，则按\(f^{-1}(f(x))=x(x\in X)\)定义在\(Y\)上的逆映射\(f^{-1}\)是到\(X\)的连续双射。

• Proof 由Theorem 1.1.4，要证\(f^{-1}\)连续，只需证对\(X\)的每个开集\(V\)，\(f(V)\)都是开集。任取开集\(V\)，有\(V^c\)是闭集，又由\(X\)的紧性，\(V^c\)是紧集，从而\(f(V^c)\)是\(Y\)的紧子集，则\(f(V^c)\)是\(Y\)的闭子集。又由\(f\)是双射可知\(f(V)^c=f(V^c)\)，即\(f(V)\)是开集。 \(\Box\)

Remark 注意，\(X\)是紧的这一条件是必要的。

Theorem 2.1.5 设\(f\)是把度量空间\(X\)映入度量空间\(Y\)的连续映射，\(E\)是\(X\)的连通子集，则\(f(E)\)连通。

• Proof 若\(f(E)\)不连通，则存在\(Y\)的两个分离的非空子集\(A,B\)，使得\(f(E)=A\cup B\)，令 \[ G=E\cap f^{-1}(A),H=E\cap f^{-1}(B), \] 有\(E=G\cup H\)且\(G,H\)非空。
  由\(A\subset\bar{A}\)的\(G\subset f^{-1}(\bar{A})\)。又由\(f\)连续得\(f^{-1}(\bar{A})\)是闭集，从而\(\bar{G}\subset f^{-1}(\bar{A})\)，即\(f(\bar{G})\subset\bar{A}\)。又由\(f(H)=B\)及\(\bar{A}\cap B=\emptyset\)可知\(\bar{G}\cap H=\emptyset\)，同理\(\bar{H}\cap G=\emptyset\)，即\(G,H\)分离，这与\(E\)连通矛盾，从而\(f(E)\)连通。 \(\Box\)

Theorem 2.1.6 设\(f\)是把度量空间\(X\)映入度量空间\(Y\)的连续映射，\(E\)是\(X\)的稠密子集，则\(f(E)\)在\(f(X)\)中稠密。

• Proof 对任一在\(f(X)\)中但不在\(f(E)\)中的点，设为\(f(p)\)，其中\(p\in X\)且\(p\notin E\)，则\(p\)是\(E\)的极限点，即存在\(E\)中的一个序列\(\{q_n\}\)趋向于\(p\)。又由Heine定理及\(f\)的连续性，\(\lim\limits_{n\to\infty}f(q_n)=f(p)\)。由\(f(q_n)\in f(E),\forall n\in\mathbb{N}^+\)，\(f(p)\)是\(f(E)\)的一个极限点，从而\(f(E)\)在\(f(X)\)中稠密。 \(\Box\)

Theorem 2.1.7 设\(f,g\)是把度量空间\(X\)映入度量空间\(Y\)的连续映射，\(E\)是\(X\)的稠密子集且\(f(x)=g(x),\forall x\in E\)，则\(f=g\)。

• Proof 任取\(p\in X\)且\(p\notin E\)，由\(E\)在\(X\)中稠密可取\(E\)中的一个序列\(\{q_n\}\)趋向于\(p\)。又由Heine定理及\(f\)的连续性，\(f(p)=\lim\limits_{n\to\infty}f(q_n)=\lim\limits_{n\to\infty}g(q_n)=g(p)\)，从而\(f=g\)。 \(\Box\)

Remark 可见，连续函数由其定义域上的一个稠密子集确定。

Definition 2.1.2 令\((X,d_X),(Y,d_Y)\)是度量空间，对映射\(f\colon X\to Y\)，若\(\forall\varepsilon>0,\exists\delta,\forall p,q\in X(d_X(p,q)<\delta\Rightarrow d_Y(f(p),f(q))<\varepsilon)\)则称\(f\)在\(X\)上一致连续。

显然一致连续的函数都是连续的，下述定理揭示了对定义在紧度量空间上的函数，这两个概念是等价的。

Theorem 2.1.8 设\(f\)是把紧度量空间\(X\)映入度量空间\(Y\)的连续映射，则\(f\)在\(X\)上一致连续。

• Proof \(\forall\varepsilon>0\)，由\(f\)连续，对每个\(p\in X\)，都取一个\(\delta(p)\)，使得 \[ \forall x\in B_X(p,\delta(p))\cap X,d_Y(f(x),f(p))<\frac{\varepsilon}{2}. \] 则\(\{B_X(x,\frac{1}{2}\delta(x))\colon x\in X\}\)是\(X\)的一个开覆盖，由\(X\)的紧性，存在一组点\(p_1,\dots,p_n\)，使得\(B_X(p_i,\delta(p_i)),i=1,\dots,n\)是\(X\)的开覆盖。取\(\delta=\frac{1}{2}\min\{\delta(p_1),\dots,\delta(p_n)\}\)，有\(\delta>0\)。
  任取\(X\)中两点\(p,q\)满足\(d_X(p,q)<\delta\)，必存在一个点\(p_m\)，使得\(p\in B_X(p_m,\frac{1}{2}\delta(p_m))\)，则有 \[ d_X(p_m,q)\leq d_X(p,p_m)+d_X(p,q)<\delta+\frac{1}{2}\delta(p_m)\leq\delta(p_m). \] 从而\(d_Y(f(p),f(q))\leq d_Y(f(p),f(p_m))+d_Y(f(q),f(p_m))<\varepsilon\)，即\(f\)在\(X\)上一致连续。 \(\Box\)

下述讨论是这些定理的巧妙应用。

Definition 2.1.2 设\((X,d)\)是度量空间，\(E\subset X\)，定义\(x\in X\)到\(E\)的距离为\(\rho_E(x)\coloneqq\inf\limits_{y\in E}d(x,y)\)。

Theorem 2.1.9 在Definition 2.1.2的条件下，\(\rho_E\)是\(X\)上的一致连续函数。

• Proof 任取\(z\in X,y\in E\)，有\(\rho_E(x)\leq d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)\)，对不等式两边同取\(y\in E\)时的下确界，有\(\rho_E(x)-\rho_E(z)\leq d(x,z)\)，同理\(\rho_E(z)-\rho_E(x)\leq d(x,z)\)，即\(|\rho_E(x)-\rho_E(z)|\leq d(x,z)\)。由此，\(\forall\varepsilon>0\)，取\(\delta=\varepsilon\)，则 \[ \forall x,z\in X(d(x,z)<\delta\Rightarrow|\rho_E(x)-\rho_E(z)|\leq d(x,z))<\varepsilon, \] 即\(\rho_E\)在\(X\)上一致连续。 \(\Box\)

Theorem 2.1.10 设\(K,F\)是度量空间\((X,d)\)中不相交的集合，且\(K\)是紧集，\(F\)是闭集，则\(\exists\delta>0,\forall x\in K,y\in F,d(x,y)>\delta\)。

• Proof 由Theorem 2.1.9，\(\rho_F\)是\(K\)上的一致连续函数，又由Theorem 2.1.3，\(\inf \rho_F(K)\in\rho_F(k)\)。而\(K,F\)不相交，则\(0\notin\rho_F(k)\)，从而\(\inf \rho_F(K)>0\)，取\(\delta=\inf \rho_F(K)\)即可。 \(\Box\)

\(\S2.2\) \(\mathbb{R}\)上的连续性

接着，我们在\(\mathbb{R}\)上讨论函数的连续性。

Definition 2.2.1 设\(E\)是\(\mathbb{R}\)的一个子集，\(f\colon E\to\mathbb{R}\)且\(p\)是\(E\)的一个极限点，若\(\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in E(0<p-x<\delta\Rightarrow|f(x)-A|<\varepsilon)\)，则称\(f\)在\(p\)处的左极限为\(\lim\limits_{x\to p^-}f(x)\coloneqq f(p-)\coloneqq A\)。

类似地可以定义右极限，记作\(\lim\limits_{x\to p^+}f(x)\)与\(f(p+)\)，易见函数\(f\)在\(p\)连续当且仅当\(f(p-)=f(p+)\)。

Definition 2.2.2 若函数在其定义域某点不连续，则称此函数在该点间断。若在该点左右极限都存在，则称在该点的间断为第一类间断（简单间断），其余的为第二类间断。

Definition 2.2.3 设\(E\)是\(\mathbb{R}\)的一个子集，\(f\colon E\to\mathbb{R}\)有\(\forall x,y\in E\)且\(x<y\)，则\(f(x)\leq f(y)\)，则称\(f(x)\)在\(E\)上单调递增。

若\(\leq\)可改为\(<\)，则称\(f\)严格单调递增。类似可定义单调递减与严格单调递减。

Theorem 2.2.1 设\(f\)在\((a,b)\)上单调，则\((a,b)\)中的每个点\(x\)，\(f(x+),f(x-)\)都存在。

• Proof 不妨设\(f\)在\((a,b)\)上递增，则\(f(x)\)是\(\{f(y)\colon a<y<x\}\)的一个上界，从而该集合有上确界，记为\(A\)。
  \(\forall\varepsilon>0\)，由上确界的定义，\(\exists\delta>0,A-\varepsilon<f(x-\delta)\leq A\)，又由\(f\)递增得 \[ \forall t\in(x-\delta,x),f(x-\delta)\leq f(t)\leq A, \] 即\(|f(t)-A|<\varepsilon\)，从而\(f(x-)=A\)。类似地，\(f(x+)=\inf\limits_{y\in (x,b)}f(y)\)，原求证成立。\(\Box\)

Corollary 单调函数没有第二类间断点。

由上述推论可以很快导出下面的定理。

Theorem 2.2.2 设\(f\)在\((a,b)\)上单调，则\((a,b)\)中\(f\)的间断点的集合是可数集。

• Proof 不妨设\(f\)在\((a,b)\)上递增，\(E\)是\(f\)的间断点的集合，\(\forall x\in E\)，都任取一个有理数\(r(x)\)满足\(r(x)\in (f(x-),f(x+))\)。由Theorem 2.2.1的证明易见，\(x_1<x_2\)时，\(f(x_1+)\leq f(x_2-)\)，从而\(r(x_1)\neq r(x_2)\)，即构造了一个\(E\)到\(\mathbb{Q}\)的一个单射，由\(\mathbb{Q}\)是可数集得\(E\)是可数集。 \(\Box\)

接着，我们来考虑闭区间上的连续函数，由之前的拓扑知识，我们知道一个闭区间是\(\mathbb{R}\)的一个连通紧子集。

Lemma 2.2.1 \(\mathbb{R}\)的一个子集\(E\)是连通集当且仅当对任意\(x<y\)且\(x,y\in E\)，若\(x<z<y\)则\(z\in E\)。

• Proof 先证”\(\Rightarrow\)“若\(\exists z\notin E\)且\(x<z<y\)，取\(A=(-\infty,z)\cap E,B=(z,+\infty)\cap E\)，易见\(A,B\)分离，且\(A\cup B=E\)，从而\(E\)不连通，与已知矛盾。
  再证证”\(\Leftarrow\)“。若\(E\)不连通，则存在分离的集合\(A,B\)满足\(A\cup B=E\)，取\(x\in A,y\in B\)且\(x<y\)（若取不到，只需交换\(A,B\)即可），令\(z=\sup(A\cap[x,y])\)，有\(z\in\bar{A}\)，即\(z\notin B\)，从而\(z\neq y\)，则有\(x\leq z<y\)。若\(z\notin A\)，则\(z\neq x\)，即\(x<z<y\)，与已知矛盾。
  否则若\(z\in A\)，则\(z\notin\bar{B}\)，从而\(z<\inf(B\cap[z,y])\)，则可取\(w\notin B\)满足\(z<w<y\)。又由\(z\)的定义可知\(w\notin A\)，从而\(x<w<y\)且\(w\notin E\)，与已知矛盾。
  综上所述，定理成立。 \(\Box\)

Remark 由该引理易见，\(\mathbb{R}\)的一个子集是连通集当且仅当它是\(\mathbb{R}\)上的一个区间。

Lemma 2.2.2 设\(E\subset \mathbb{R}\)连通，\(f\colon E\to\mathbb{R}\)单调且\(f(E)\)连通，则\(f\)连续。

• Proof 不妨设\(f\)在\(E\)上单调递增，假设\(f\)不连续，由Theorem 2.2.1，不妨设\(f\)在\(x_0\in E\)间断，考虑\(f(x_0-)\neq f(x_0)\)的情况（\(f(x_0+)\neq f(x_0)\)同理）。取\(y=\frac{f(x_0-)+f(x_0)}{2}\)，由单调性可知\(x<x_0\)时\(f(x)<y\)，\(x\geq x_0\)时\(f(x)>y\)，从而\(y\notin E\)。则由\(f(E)=((-\infty,y)\cap E)\cup((y,+\infty)\cap E)\)可见\(f(E)\)不连通，与已知矛盾，故\(f\)连续。 \(\Box\)

结合Theorem 2.1.5与Lemma 2.2.2，可得如下定理。

Theorem 2.2.3 设\(E\subset \mathbb{R}\)连通，\(f\colon E\to\mathbb{R}\)单调，则\(f\)连续当且仅当\(f(E)\)连通。

类似地，可以证明如下引理，具体证明不再赘述。

Lemma 2.2.3 设\(E\subset \mathbb{R}\)连通，\(f\colon E\to\mathbb{R}\)是连续单射，则\(f\)严格单调。

结合Theorem 2.1.5、2.2.3与Lemma 2.2.3，我们可以得到如下关于反函数的结论。

Theorem 2.2.4 设\(E\subset \mathbb{R}\)连通，\(f\colon E\to\mathbb{R}\)是连续单射，则反函数\(f^{-1}\)在\(f(E)\)上连续。

接着，我们来讨论一般的实连续函数的一些性质。

Theorem 2.2.5(Bolzano-Cauchy介值定理) 设\(f\colon [a,b]\to\mathbb{R}\)是连续函数且\(f(a)<c<f(b)\)，则\(\exists x_0\in(a,b),f(x_0)=c\)。

• Proof 由\([a,b]\)是连通集得\(f([a,b])\)是连通集，且\(f(a),f(b)\in f([a,b])\)，从而由Lemma 2.2.1，\(c\in f([a,b])\)，即\(\exists x_0\in(a,b),f(x_0)=c\)（\(x_0\neq a,b\)是显然的）。 \(\Box\)

Theorem 2.2.6(零点定理) 设\(f\colon [a,b]\to\mathbb{R}\)是连续函数且\(f(a)f(b)<0\)，则\(\exists x_0\in(a,b),f(x_0)=0\)。

• Proof 不妨设\(f(a)<0,f(b)>0\)，则由介值定理得\(\exists x_0\in(a,b),f(x_0)=0\)。 \(\Box\)

最后，我们定义无穷极限与在无穷远点的极限。

Definition 2.2.4 设\(f\)是定义在\([c,+\infty)\)上的函数，若\(\forall\varepsilon>0,\exists\delta>c,\forall x>\delta,|f(x)-A|<\varepsilon\)，则记作\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A\)。

Definition 2.2.5 令\((X,d_X)\)是度量空间，\(E\subset X\)且\(p\)是\(E\)的一个极限点，对映射\(f\colon E\to \mathbb{R}\)，若\(\forall\varepsilon,\exists\delta,\forall x\in E(0<d_X(x,p)<\delta\Rightarrow f(x)>\varepsilon)\)，则记作\(\lim\limits_{x\to p}f(x)=+\infty\)。

类似地，我们可以定义在负无穷远点的极限、负无穷极限与无穷远点处的无穷极限。

\(\S2.3\) 凸函数与连续性

Definition 2.3.1 设\(E\)是\(\mathbb{R}^n\)的一个子集，若\(\forall\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in E,\forall\lambda\in(0,1)\)，有\((\lambda\boldsymbol{x}+(1-\lambda)\boldsymbol{y})\in E\)，则称\(E\)是\(\mathbb{R}^n\)的一个凸集。

Definition 2.3.2 设\(E\)是\(\mathbb{R}^n\)上的一个凸集，\(f\colon E\to\mathbb{R}\)满足\(\forall\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in E,f(\lambda\boldsymbol{x}+(1-\lambda)\boldsymbol{y})\leq\lambda f(\boldsymbol{x})+(1-\lambda)f(\boldsymbol{y})\)，则称\(f\)是凸函数。

Theorem 2.3.1 开区间上的凸函数是连续函数。

• Proof 设\(f\colon (a,b)\to\mathbb{R}\)是凸函数，任取\(E\)中四个点\(x_1,x_0,x,x_2\)满足\(x_1<x_0<x<x_2\)，代入凸函数的定义，整理得 \[ \begin{align*} f(x)&\geq\frac{x-x_0}{x_0-x_1}[f(x_0)-f(x_1)]+f(x_0),\\ f(x)&\leq\frac{x_2-x}{x_2-x_0}f(x_0)+\frac{x-x_0}{x_2-x_0}f(x_2). \end{align*} \] 令\(x\to x_0\)，由夹逼性可得\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)，从而\(f(x)\)连续。 \(\Box\)

Theorem 2.3.2 \(n\)维开凸集上的凸函数是连续函数。

• Proof 设\(D\in\mathbb{R}^n\)是开凸集，\(f\colon D\in\mathbb{R}\)是凸函数。任取\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_0\in D\)，令\(\boldsymbol{x}_0=(x_1,\dots,x_n),\boldsymbol{x}=(y_1,\dots,y_n)\)。构造函数\(g_i(t)=f(y_1,\dots,y_{i-1},x_i+t,x_{i+1},\dots,x_n)\)，其中\(i=1,\dots,n\)，由Theorem 2.3.1易知它们均是连续凸函数，且注意到\(g_i(y_i-x_i)=g_{i+1}(0),i=1,\dots,n-1\)。
  则\(\forall\varepsilon>0,\exists\delta\)，使得\(|x_i-y_i|<\delta\)时有\(|g_i(y_i-x_i)-g_i(0)|<\frac{\varepsilon}{n}\)，从而当\(d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_0)<\delta\)时，有 \[ \begin{align*} |f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x}_0)|&=|u_n(y_n-x_n)-u_1(0)|\\ &=|\sum\limits_{k=1}^n(u_k(y_k-x_k)-u_k(0))|\\ &\leq\sum\limits_{k=1}^n|(u_k(y_k-x_k)-u_k(0))|\\ &<n\frac{\varepsilon}{n}=\varepsilon. \end{align*} \] 由此可见\(f\)在\(D\)上连续。 \(\Box\)

另外，对实凸函数做数学归纳法，可以得到Jensen不等式。

Theorem 2.3.3(Jensen不等式) 设\(f\colon(a,b)\to\mathbb R\)是凸函数，且\(k_1,\dots,k_n\in\mathbb R\)满足\(\sum\limits_{i=1}^nk_i=1\)，则对\((a,b)\)中任意\(n\)个点\(x_1,\dots,x_n\)，有\(f\left(\sum\limits_{i=1}^nk_ix_i\right)\leq\sum\limits_{i=1}^nk_if(x_i)\)。