接上一篇笔记，我们知道了有理数是不完备的，因此这篇笔记从提及的两个角度出发分别构造实数域，再证明满足实数域唯一即满足Dedekind完备性的有序域是同构的，最后再定义复数域。
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一、Dedekind分割
Dedekind完备性指的是任意有上界的集合都有上确界，回顾之前的例子，很容易想到用有理数集去构造实数，例如用有理数集\(A=\{x\in\mathbb{Q}\colon x^2<2\}\)去构造一个实数。但这个构造存在一个问题，肯定会有很多集合构造成同一个实数，这时对这些集合取并，就自然地得到分割的定义了。
\(\S1.1\) Dedekind分割初步构造
由上述讨论，可以提出一个定义。
Definition 1.1.1 定义分割是满足下述三条性质的\(\mathbb{Q}\)的子集：
(a) \(\alpha\neq\mathbb{Q}\)且\(\alpha\neq\emptyset\)；
(b) 若\(x\in\alpha,y\in\mathbb{Q}\)且\(y<x\)，则\(y\in\alpha\)；
(c) 若\(x\in\alpha\)，则\(\exists y\in\alpha,x<y\)。
定义\(\mathbb{R}\)是\(\mathbb{Q}\)上全体分割的集合，每个分割称为一个实数。
由(b)易得下述两个命题：
Proposition 1.1.1 若\(x\in\alpha\)且\(y\notin\alpha\)，则\(x<y\)。
Proposition 1.1.2 若\(x\notin\alpha\)且\(x<y\)，则\(y\notin\alpha\)
(c)指的是\(\alpha\)的上界均不在\(\alpha\)中，之前的讨论没有涉及到这一条，但下文会说明这一条的必要性。另外，分割的相等即是集合的相等。
Definition 1.1.2 定义分割的序关系\(\alpha\leq\beta\iff\alpha\subset\beta\)。
自反、反称、传递是显然的，下证完全性：
Proposition 1.1.3 上述定义的\(\mathbb{R}\)上的序关系有完全性。
- Proof 任取\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)且\(\alpha\neq\beta\)，若\(\alpha\backslash\beta\neq\emptyset\)，则\(\exists x\in\alpha\)且\(\exists x\notin\beta\)，由Proposition 1.1.2，\(\alpha<\beta\)。
若\(\beta\backslash\alpha\neq\emptyset\)，同理可得\(\beta<\alpha\)，即可得完全性。 \(\Box\)
因此，在该序关系下，\(\mathbb{R}\)是一个全序集。接着，来讨论其是否满足Dedekind完备性。
Theorem 1.1.1 \(\mathbb{R}\)有最小上界性。
- Proof 令\(A\subset\mathbb{R}\)且非空有上界，\(\gamma=\bigcup_{\alpha\in A}\alpha\)，显然\(\gamma\neq\emptyset\)。任取\(x\in \gamma,y\in\mathbb{Q}\)且\(y<x\)，则\(\exists\alpha_0\in A(x\in\alpha_0)\)，从而\(y\in\alpha_0\)，由定义\(y\in\gamma\)。又\(\exists z\in\alpha_0,x<z\)，则\(z\in\gamma\)且\(x<z\)。这就证明了\(\gamma\in\mathbb{R}\)。
设\(\beta\in\mathbb{R}\)且\(\beta<\gamma\)。则\(\exists p\in\gamma\)且\(p\notin\beta\)，并且\(\exists\alpha_1\subset A(p\in\alpha_1)\)。由Proposition 1.1.1，\(\beta<\alpha_1\)，则\(\beta\)不是\(A\)的上界，从而\(\sup A=\gamma\)。 \(\Box\)
这就说明了\(\mathbb{R}\)具有最小上界性，由笔记(2)中的讨论，它也具有最大下界性。接着，对其定义基本运算。
\(\S1.2\) 实数域
Definition 1.2.1 定义实数的加法\(\forall \alpha,\beta\in\mathbb{R}(\alpha+\beta\coloneqq\{x+y\colon x\in\alpha,y\in\beta\})\)。
Theorem 1.2.1 \(<\mathbb{R},+>\)是一个交换群。
Proof 先证\(\mathbb{R}\)的加法运算是封闭的：
\(\forall\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)，设\(x\in(\alpha+\beta)\)，不妨设\(x=y+z,y\in\alpha,z\in\beta\)。
\(\forall p\in\mathbb{Q}\)，若\(p<x=y+z\)，则\(p-y<z\)，可得\(p-y\in\beta\)。由 \[ p=y+(p-y),y\in\alpha,(p-y)\in\beta \] 得\(p\in(\alpha+\beta)\).又由\(p-y\in\beta\)，则\(\exists q\in\beta,p-y<q\)，即\(p<y+q\)且\(y+q\in(\alpha+\beta)\)。综上所述，\(\alpha+\beta\in\mathbb{R}\)。
再证形成一个交换群：
加法交换律与结合律是显然的，取\(0_\mathbb{R}\coloneqq\{x\in\mathbb{Q}\colon x<0\}\)，显然这是一个分割，则 \[ \forall\alpha\in\mathbb{R},\forall x\in\alpha,y\in0_\mathbb{R},x+y<x, \] 从而\(x+y\in\alpha\)，即\(\alpha+0_\mathbb{R}\subset\alpha\)。
\(\forall x\in\alpha\)，\(\exists y\in\alpha,x<y\)，则\(x-y\in0_\mathbb{R}\)，又由\(x=(x-y)+y\)，得\(x\in\alpha+0_\mathbb{R}\)，即\(\alpha\subset\alpha+0_\mathbb{R}\)。从而\(\alpha+0_\mathbb{R}=\alpha\)。
\(\forall\alpha\in\mathbb{R}\)，令\(\beta\coloneqq\{x\in\mathbb{Q}\colon \exists y\in\mathbb{Q}^+(-x-y\notin\alpha)\}\)，先证明\(\beta\)是一个分割：
必存在\(z\notin\alpha\)，令\(x=-z-1\)，则\(-x-1=z\notin\alpha\)，从而\(\beta\)非空。任取\(x\in\beta\)，\(\exists y>0,-x-y\notin\alpha\)，若\(z\in\mathbb{Q}\)且\(z<x\)，则\(-z-y>-x-y\)，即\(z\in\beta\)。
由\(\frac{y}{2}>0\)，则\(x+\frac{y}{2}>x\)，且\(-(x+\frac{y}{2})-\frac{y}{2}=-x-y\notin\alpha\)，则\(x+\frac{y}{2}\in\beta\)。
综上所述，\(\beta\in\mathbb{R}\)。
\(\forall x\in\alpha,y\in\beta\)，有\(-y\notin\alpha\)，则\(x<-y\)即\(x+y<0\)，从而\(\alpha+\beta\subset0_\mathbb{R}\)。
\(\forall z\in0_\mathbb{R}\)，令\(p=-\frac{z}{2}>0\)，由\(\mathbb{Q}\)的Archimedes性，\(\exists q\in\mathbb{Z},qp\in\alpha,(q+1)p\notin\alpha\)，
令\(r=-(q+2)p\)，则\(-r+p\notin\alpha\)，即\(r\in\beta\)。从而\(z=q+r\)，即\(z\in\alpha+\beta\)，得\(0_\mathbb{R}\subset\alpha+\beta\)，则\(\alpha+\beta=0_\mathbb{R}\)(自然地，记\(\beta\coloneqq-\alpha\))。综上所述，\(<\mathbb{R},+>\)是一个交换群。 \(\Box\)
利用实数的加法逆元，自然地得到实数的减法。
Definition 1.2.2 定义正实数的乘法\(\forall\alpha,\beta\in\mathbb{R}^+(\alpha\cdot\beta\coloneqq\{x\in\mathbb{Q}\colon \exists y\in\alpha,z\in\beta(y,z>0\wedge x\leq yz)\})\)。
Theorem 1.2.2 \(<\mathbb{R}^+,\cdot>\)是一个交换群。
- Proof 易知\(\mathbb{R}^+\)的乘法运算是封闭的，且显然有结合律、交换律。
令\(1_\mathbb{R}\coloneqq\{x\in\mathbb{Q}\colon x<1\}\)，有\(1_\mathbb{R}\in\mathbb{R}^+\)，\(\forall\alpha\in\mathbb{R}^+\)，有\(\forall x\in\alpha,y\in1_\mathbb{R},xy<x\)，即\(\alpha\cdot1_\mathbb{R}\subset\alpha\)。
\(\forall x\in\alpha\)且\(x>0,\exists y\in\alpha,y>x\)，有\(\frac{x}{y}<1\)即\(\frac{x}{y}\in1_\mathbb{R}\)。而\(x=y\cdot\frac{x}{y}\)，则\(\alpha\subset\alpha\cdot 1_\mathbb{R}\)，得\(\alpha\cdot1_\mathbb{R}=\alpha\)。
类似Theorem 1.2.1的证明，\(\forall\alpha\in\mathbb{R}^+\)，令\(\beta\coloneqq\{x\in\mathbb{Q}\colon \exists y\in\mathbb{Q}^+(\exists z\in\mathbb{Q}^+(x\leq y\wedge\frac{1}{y}-z\notin\alpha))\}\)，
必存在\(z\notin\alpha\)且\(z>0\)，令\(x=\frac{1}{z+1}\)，有\(\frac{1}{x}-1=z\notin\alpha\)，从而\(\beta\)非空。
\(\forall x\in\beta,y\in\mathbb{Q}\)且\(0<y<x\)，\(\exists p,q\in\mathbb{Q}^+,\frac{1}{p}-q\notin\alpha\)且\(y<x\leq p\)，从而\(y\in\beta\)。
若\(x\leq0\)，显然\(\exists z\in\beta,z>x\)。考虑\(x>0\)，则\(\exists p\in\mathbb{Q}^+,\frac{1}{x}-p\notin\alpha\)且\(\frac{1}{x}>p\)，取\(q=\frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{p}{2}}>x\)，
有\(\frac{1}{q}-\frac{p}{2}=\frac{1}{x}-p\notin\alpha\)，因此\(\beta\)是一个分割。
下证\(\alpha\cdot\beta=1_\mathbb{R}\)：
\(\forall x\in\alpha,y\in\beta\)且\(x,y>0\)，有\(\frac{1}{y}\notin\alpha\)，即\(\frac{1}{y}>x\)，得\(xy<1\)，即\(\alpha\beta\subset1_\mathbb{R}\)。
\(\forall z\in1_\mathbb{R}\)且\(z>0\)，取\(x\in\alpha\)且\(x>0\)，有\((1-z)x\in\alpha\)，由\(\mathbb{Q}\)的Archimedes性，\(\exists n\in\mathbb{N},nx(1-z)\in\alpha,(n+1)x(1-z)\notin\alpha\)，分别记作\(u,v\)。
则\(v-u=-x(1-z)<(1-z)v\)，得\(v<\frac{u}{z}\)，即\(\frac{u}{z}\notin\alpha,\frac{u}{z}-(\frac{u}{z}-v)=v\notin\alpha\)，从而\(\frac{z}{u}\in\beta\)。
得\(z=u\cdot\frac{z}{u}\)，即\(z\in\alpha\beta\)，得\(1_\mathbb{R}\subset\alpha\beta\)。由此，\(1_\mathbb{R}=\alpha\beta\)，并记\(\beta=\alpha^{-1}\)或\(\frac{1}{\alpha}\)。
综上所述，\(<\mathbb{R}^+,\cdot>\)是一个交换群。 \(\Box\)
Theorem 1.2.3 \(\mathbb{R}^+\)上的加法与乘法满足结合律。
- Proof \(\forall\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}^+\)，\(\forall x\in\alpha,y\in(\beta+\gamma)\)，不妨设 \[ y=p+q,p\in\beta,q\in\gamma, \] 则\(xy=x(p+q)=xp+xq\)，而\(xp\in\alpha\beta,xq\in\alpha\gamma\)，从而\(xy\in\alpha\beta+\alpha\gamma\)，即\(\alpha(\beta+\gamma)\subset\alpha\beta+\alpha\gamma\)。
\(\forall x\in\alpha\beta,y\in\alpha\gamma\)，设\(x=pq,y=uv\)，其中\(p,u\in\alpha,q\in\beta,v\in\gamma\)，不妨令\(p<u\)，有\(uq\in\alpha\beta\)，
则\(x+y<u(q+v)\)，而\(q+v\in\beta+\gamma\)，得\(x+y\in\alpha(\beta+\gamma)\)，即\(\alpha\beta+\alpha\gamma\subset\alpha(\beta+\gamma)\)。
从而\(\alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma\)。 \(\Box\)
Definition 1.2.3 定义实数的乘法\(\forall\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)，\(\alpha0_\mathbb{R}=0_\mathbb{R}\alpha=0_\mathbb{R}\)，\(\alpha,\beta>0_\mathbb{R}\)时已定义，并定义 \[ \alpha\beta= \begin{cases} (-\alpha)(-\beta)&\alpha<0_\mathbb{R},\beta<0_\mathbb{R},\\ -[(-\alpha)\beta]&\alpha<0_\mathbb{R},\beta>0_\mathbb{R},\\ -[\alpha(-\beta)]&\alpha>0_\mathbb{R},\beta<0_\mathbb{R}. \end{cases} \]
类似地，借助加法逆元，容易将Theorem 1.2.2、1.2.3推广到\(\mathbb{R}\)上，自然地得到实数的除法，且可以得出结论：
Theorem 1.2.4 \(\mathbb{R}\)是Dedekind完备的有序域。
至此，我们的构造已经完成了，而\(\mathbb{R}\)是有序域，则必有一个子域与\(\mathbb{Q}\)同构。
Theorem 1.2.5 \(\mathbb{Q}_*\coloneqq\{x_*\in\mathbb{R}\colon \exists x\in\mathbb{Q}(x_*=\{y\in\mathbb{Q}\colon y<x\})\}\)，\(\mathbb{Q}\)与\(\mathbb{Q}_*\)同构。
- Proof 设\(f\colon \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}_*,x\mapsto x_*\)，显然\(f\)是双射，且有 \[ \begin{align*} f(x+y)=\{p\in\mathbb{Q}|p<x+y\}&=\{p+q\in\mathbb{Q}|p<x,q<y\}\\ &=\{p\in\mathbb{Q}|p<x\}+\{q\in\mathbb{Q}|q<y\}\\&=f(x)+f(y). \end{align*} \] 先证明\(\forall x\in\mathbb{Q},f(-x)=-f(x)\)。 \[ -f(x)=-x_*=\{y\in\mathbb{Q}|\exists z>0(-y-z\notin x_*)\}, \] 任取\(p<-x\)，取\(q=\frac{-p-x}{2}>0\)，有\(p+q<-x\)，即\(-p-q>x\)，得\(-p-q\notin x_*\)，则\(f(-x)\subset-f(x)\)。
任取\(p\in-f(x)\)，设\(z\in\mathbb{Q^+}\)且\(-y-z\notin x_*\)，则\(-y-z\geq x\)，即\(y\leq-x-z<-x\)，得\(-f(x)\subset f(-x)\)，从而\(f(-x)=-f(x)\)。
\(\forall x,y\in\mathbb{Q}^+\)，任取\(z\in f(x)f(y)\)，\(\exists p\in f(x),q\in f(y),z\leq pq<xy\)，得\(f(x)f(y)\subset f(xy)\)。
任取\(z\in f(xy)\)，有\(z<xy\)即\(xy-z>0\)，由\(\mathbb{Q}\)的Archimedes性，\(\exists n\in\mathbb{N},n(xy-z)>xy\)，即\(z<\frac{n-1}{n}xy\)。又令 \[ p=\frac{n-1}{n-\frac{1}{2}}x,q=\frac{n-\frac{1}{2}}{n}y, \] 有\(p\in f(x),q\in f(y),z<pq<xy\)，得\(f(xy)\subset f(x)f(y)\)，即\(f(xy)=f(x)f(y)\)。由此 \[ \forall x>0,y\leq0,f(xy)=f(-x(-y))=-f(x(-y))=-f(x)f(-y)=f(x)f(y). \] 同理\(x\leq0,y>0\)时\(f(xy)=f(x)f(y)\)。又有 \[ \forall x\leq0,y\leq0,f(xy)=f((-x)(-y))=f(-x)f(-y)=f(x)f(y), \] 因此\(\forall x,y\in\mathbb{Q},f(xy)=f(x)f(y)\)。\(\forall x,y\in\mathbb{Q}\)，若\(x\leq y\)，显然\(f(x)\leq f(y)\)。
综上所述，\(\mathbb{Q}_*\)与\(\mathbb{Q}\)同构。 \(\Box\)
(题外话：上述的好几个证明都有借助Archimedes性的一点小技巧，也能体现出分割这一定义的巧妙。很喜欢陈纪修老先生的一句话：这不是什么大的技巧，但也是一个小的技巧。)
Lemma 1.2.1 \(\mathbb{R}\)上Cauchy序列是有界的，即若\(\{a_n\}\)是Cauchy序列，则\(\exists M\in\mathbb{R},\forall n,|a_n|\leq M\)。
- Proof 取\(\varepsilon=1,\exists N,\forall n>N,|a_n-a_{N+1}|<1\)，取\(M=\max\{a_1,a_2,...,a_N,a_{N+1}+1\}\)即可。 \(\Box\)
Theorem 1.2.6 \(\mathbb{R}\)是Cauchy完备的。
- Proof 对\(\mathbb{R}\)上任意Cauchy序列\(\{a_n\}\)，考虑集合\(A=\{x\in\mathbb{R}\colon \exists N_x,\forall n>N_x,a_n>x\}\)，由Lemma 1.2.1，\(\exists M,\forall n,|a_n|<M\)，则\(A\)非空有上界，令\(y=\sup A\)， \[ \forall\varepsilon>0,\exists z\in A,y-\varepsilon<z<y, \] 则\(\forall n>N_z,a_n-y>z-y>-\varepsilon\)，且\(\exists N_0,\forall n,m>N_0,|a_n-a_m|<\frac{\varepsilon}{2}\)，又由\(y+\frac{\varepsilon}{2}\notin A\)，
\(\exists m_0>N_0,a_{m_0}\leq y+\frac{\varepsilon}{2}\)，且 \[ a_n<a_{m_0}+\frac{\varepsilon}{2}\leq y+\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=y+\varepsilon. \] 取\(N=\max\{N_z,N_0\},\forall n>N,|a_n-y|<\varepsilon\)，即\(\{a_n\}\)收敛于\(y\)。 \(\Box\)
最后再来解释分割定义中(c)的重要性：
Theorem 1.2.7 若删去分割定义中的(c)，保留序和加法的定义，则存在分割没有加法逆元。
- Proof 考虑分割\(\alpha=\{x\in\mathbb{Q}\colon x\leq1\},\beta=\{x\in\mathbb{Q}\colon x<1\}\)，设零元为\(0_\mathbb{R}\)，由\(\alpha+0_\mathbb{R}=\alpha\)得，\(\exists x\in0_\mathbb{R},y\in\alpha,x+y=1\)，则\(x=1-y\geq0\)。另外\(\forall z\in0_\mathbb{R},z+1\leq1\)，即\(z\leq0\)，因此\(0_\mathbb{R}=\{x\in\mathbb{Q}\colon x\leq0\}\)。
假设\(\exists\gamma\in\mathbb{R},\beta+\gamma=0_\mathbb{R}\)，则\(\exists x\in\beta,y\in\gamma,x+y=0\)，取\(z=\frac{x+1}{2}>x\)，有\(z\in\beta\)，而\(z+y>0\)，这与\(0_\mathbb{R}\)的定义矛盾，因此\(\beta\)不存在加法逆元。 \(\Box\)
二、Cantor构造法
\(\S2.1\) Cauchy序列的等价类与运算
本章中的\(\mathbb{R}\)特指由下述构造得到的集合，与上文无关，虽然最终我们会证明它们是同一个域。
Lemma 2.1.1 \(\mathbb{Q}\)上Cauchy序列是有界的，即若\(\{a_n\}\)是Cauchy序列，则\(\exists M\in\mathbb{Q},\forall n,|a_n|\leq M\)。
- Proof 取\(\varepsilon=1,\exists N,\forall n>N,|a_n-a_{N+1}|<1\)，取\(M=\max\{a_1,a_2,...,a_N,a_{N+1}+1\}\)即可。 \(\Box\)
Definition 2.1.1 设\(\mathbb{Q}\)上所有Cauchy序列集合为\(C\)，定义\(C\)的等价关系\(\sim\)：\(\forall\{a_n\},\{b_n\}\in C,\{a_n\}\sim\{b_n\}\iff\forall \varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n>N,|a_n-b_n|<\varepsilon\)。定义实数域\(\mathbb{R}\coloneqq C\backslash\sim\)。记\(\{a_n\}\)所在的等价类为\([a_n]\)。
Definition 2.1.2 定义实数的加法\(\forall[a_n],[b_n]\in\mathbb{R},[a_n]+[b_n]\coloneqq[a_n+b_n]\)。
Theorem 2.1.1 实数的加法是良定义的。
- Proof \(\forall [a_n],[b_n]\in\mathbb{R},\forall\frac{\varepsilon}{2}>0,\exists N_0\in\mathbb{N},\forall n,m>N_0,|a_n-a_m|<\frac{\varepsilon}{2},\)
且\(\exists N_1\in\mathbb{N},\forall n,m>N_1,|b_n-b_m|<\frac{\varepsilon}{2}\)，
则取\(N=\max\{N_0,N_1\}\)，有 \[ \forall n,m>N,|(a_n+b_n)-(a_m+b_m)|<|a_n-a_m|+|b_n-b_m|<\varepsilon, \] 从而\(\{a_n+b_n\}\)是Cauchy序列。
若\([c_n]=[a_n]\)，则\(\forall\varepsilon>0,\exists N_1\in\mathbb{N},\forall n>N_1,|a_n-c_n|<\varepsilon\)。从而 \[ \forall n>N_1,|(a_n+b_n)-(c_n+b_n)|=|a_n-c_n|<\varepsilon, \] 即\([a_n+b_n]=[c_n+b_n]\)。 \(\Box\)
易验证\(<\mathbb{R},+>\)是一个交换群，其中\([a_n]\)的加法逆元为\([-a_n]\)，加法零元为\([0]\)。
Definition 2.1.3 定义实数的乘法\(\forall [a_n],[b_n]\in\mathbb{R},[a_n]\cdot[b_n]\coloneqq[a_n\cdot b_n]\)。
Theorem 2.1.2 实数的乘法是良定义的。
- Proof \(\forall [a_n],[b_n]\in\mathbb{R}\)，由Lemma 2.1.1，设\(M\in\mathbb{Q},\forall n,|a_n|<M,|b_n|<M\)。
则\(\forall\varepsilon>0,\exists N_0,\forall n,m>N_0,|a_n-a_m|<\frac{\varepsilon}{2M},\exists N_1,\forall n,m>N_1,|b_n-b_m|<\frac{\varepsilon}{2M}\)，
取\(N=\max\{N_0,N_1\}\)， \[ \begin{align*} \forall n,m>N,|a_nb_n-a_mb_m|&=|(a_nb_n-a_nb_m)+(a_nb_m-a_mb_m)|\\ &\leq|a_n||b_n-b_m|+|b_n||a_n-a_m|\\ &<M(|a_n-a_m|+|b_n-b_n|)\\ &<M(2\frac{\varepsilon}{2M})=\varepsilon, \end{align*} \] 即\(\{a_nb_n\}\)是Cauchy序列。
若\([c_n]=[a_n]\)，则 \[ \forall\varepsilon>0,\exists N_2,\forall n>N_2,|a_{n}-c_{n}|<\frac{\varepsilon}{M}, \] 从而\(\forall m>N_2,|a_mb_m-c_mb_m|=|b_m||a_m-c_m|<M\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon\)，即\([a_nb_n]=[c_nb_n]\)。 \(\Box\)
Definition 2.1.4 若\([a_n]\neq[0]\)，对\([a_n]\)定义倒数运算 \[ [a_n]^{-1}\coloneqq\begin{cases} 0&,a_n=0,\\ a_n^{-1}&,a_n\neq 0. \end{cases} \] Theorem 2.1.3 实数的倒数是良定义的。
- Proof \(\forall [a_n],[b_n]\in\mathbb{R}\backslash\{[0]\}\)且\([a_n]=[b_n]\)，由\([a_n]\neq0,[b_n]\neq0\)，不妨设
\[ M\in\mathbb{Q},\exists N_0,\forall n>N_0,a_n>M,b_n>M, \] 记\([a_n]^{-1}=[c_n],[b_n]^{-1}=[d_n]\)。有\(\forall \varepsilon>0,\exists N_1,\forall n>N_1,|a_n-b_n|<M^2\varepsilon\)，取\(N=\max\{N_0,N_1\}\)，
\[ \begin{align*} \forall n>N,|c_n-d_n|&=|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{b_n}|\\ &=\frac{|a_n-b_n|}{|a_nb_n|}\\ &<\frac{|a_n-b_n|}{M^2}<\varepsilon. \end{align*} \] 从而有\([c_n]=[d_n]\)。 \(\Box\)
易验证\(<\mathbb{R}\backslash\{[0]\},\cdot>\)是一个交换群，乘法零元为\([1]\)。
利用逆元，可以自然地得到实数的减法与除法。
Definition 2.1.5 称\([a_n]\in\mathbb{R}\)是一个正实数，当且仅当\(\exists\varepsilon_0>0,N\in\mathbb{N},\forall n>N,a_n>\varepsilon_0\)。
Theorem 2.1.4 正实数是良定义的。
- Proof 若\([a_n]=[b_n]\)且\([a_n]\)是正实数，则\(\exists\varepsilon_0>0,N_0\in\mathbb{N},\forall n>N_0,a_n>2\varepsilon_0\)且\(\exists N_1,\forall n>N_1,|a_n-c_n|<\varepsilon_0\)即\(c_n>a_n-\varepsilon_0\)，取\(N=\max\{N_0,N_1\}\)，得\(\forall n>N,c_n>a_n-\varepsilon_0>\varepsilon_0\)，即\([c_n]\)是正实数。 \(\Box\)
Definition 2.1.6 定义实数的序关系\(\forall [a_n],[b_n]\in\mathbb{R},[a_n]<[b_n]\iff[b_n-a_n]\)是一个正实数。\([a_n]\leq[b_n]\iff([a_n]<[b_n]\vee[a_n]=[b_n])\)。
由Theorem 2.1.4，实数的序关系也是良定义的，易验证实数域是全序集。
Definition 2.1.7 定义实数的绝对值 \[ \forall x\in\mathbb{R},|x|=\begin{cases}x,&x\geq[0],\\-x,&x<[0].\end{cases} \]
\(\S2.2\) Cauchy序列等价类的性质
类似Theorem 1.2.5，易得如下结论：
Theorem 2.2.1 定义\(\mathbb{Q}_*\coloneqq\{[a_n]\in\mathbb{R}\colon \exists x\in\mathbb{Q},[x]=[a_n]\}\)，\(\mathbb{Q}_*\)与\(\mathbb{Q}\)同构。
之后就可以用\(x\in\mathbb{Q}\)来代替\([x]\)了。
接着，来证明我们构造出的实数域是完成了我们的目标的，先证明几个引理。
Lemma 2.2.1 \(\mathbb{R}\)有Archimedes性。
- Proof \(\forall [a_n],[b_n]>0\)，设\(M\in\mathbb{Q},\forall n,|b_n|<M\)，且\(\exists c>0,N_0\in\mathbb{N},\forall n>N_0,a_n>c\)。由\(\mathbb{Q}\)的Archimedes性，\(\exists m\in\mathbb{Z}^+,mc>M\)，取\(\varepsilon_0=mc-M>0,N=N_0\)，有
\[ \forall n>N,ma_n-b_n>mc-M=\varepsilon_0, \] 即\(\exists m\in\mathbb{Z}^+,m[a_n]>[b_n]\)。 \(\Box\)
Lemma 2.2.2 有理数在\(\mathbb{R}\)上稠密。
- Proof \(\forall x,y\in\mathbb{R}\)且\(x<y\)，有\(y-x>0\)，由Lemma 2.2.1，\(\exists n\in\mathbb{Z}^+,n(y-x)>1\)，即\(y-x>\frac{1}{n}\)。
再次用Lemma 2.2.1，\(\exists m\in\mathbb{Z}^+,\frac{m-1}{n}<x<\frac{m}{n}\)，有\(\frac{m}{n}<x+\frac{1}{n}<y\)且\(\frac{m}{n}\in\mathbb{Q}\)。 \(\Box\)
注意，上文讨论的都是\(\mathbb{Q}\)上的Cauchy序列，所以取的\(\varepsilon\)默认在\(\mathbb{Q}\)上，而下文若无特殊写明，则默认\(\varepsilon\in\mathbb{R}\)。
Theorem 2.2.2 \(\mathbb{R}\)是Cauchy完备的。
- Proof 先考虑\(\mathbb{R}\)上由有理数组成的Cauchy序列，设\(\{a_n\}\)满足\(\forall n,a_n\in\mathbb{Q}\)，令\(x=[a_n]\)，\(\forall\varepsilon>0\)，由Lemma 2.2.2，\(\exists\varepsilon_0\in\mathbb{Q}\)且\(\varepsilon_0<\varepsilon\)，\(\exists N_0,\forall p,q>N_0,|a_p-a_q|<\frac{\varepsilon_0}{2}\)。取\(N=N_0+1\)，得\(\forall n_0>N,|a_{n_0}-x|=|[a_n-a_{n_0}]|\)，有\(\forall n>N,|a_n-a_{n_0}|<\frac{\varepsilon_0}{2}\)，即 \[ [\varepsilon_0-(a_n-a_{n_0})],[(a_n-a_{n_0})+(-\varepsilon_0)]>0, \] 得\(-\varepsilon_0<[a_n-a_{n_0}]<\varepsilon_0\)，即\(|a_{n_0}-x|=|[a_n-a_{n_0}]|<\varepsilon_0<\varepsilon\)，从而\(\{a_n\}\)收敛于\([a_n]\)。
任取\(\mathbb{R}\)上的Cauchy序列\(\{b_n\}\)，由Archimedes性，\(\forall n,\exists c_n\in\mathbb{Q},|c_n-b_n|<\frac{1}{n}\)，考虑\(\{c_n\}\)，由上述可知， \[ \exists y\in\mathbb{R},\forall \varepsilon>0,\exists N_1,\forall n>N_1,|c_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}. \] 取\(N=\max\{N_1,\left \lceil\frac{2}{\varepsilon}\right \rceil \}\)， \[ \forall n>N,|b_n-y|<|b_n-c_n|+|c_n-y|<\frac{1}{n}+\frac{\varepsilon}{2}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon, \] 即\(\{b_n\}\)收敛于\(y\)。 \(\Box\)
Theorem 2.2.3 \(\mathbb{R}\)是Dedekind完备的。
- Proof 任取\(\mathbb{R}\)的一个非空有上界集\(A\)，由Archimedes性易得，\(\forall n\in\mathbb{Z}^+,\exists k_n\)使得\(\frac{k_n-1}{n}\)不是\(A\)的上界而\(\frac{k_n}{n}\)是\(A\)的上界，令\(a_n=\frac{k_n}{n}\)。
\(\forall\varepsilon>0\)，取\(N_0=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right \rceil,\forall m>n>N_0\)，易得\(a_n-\frac{1}{n}\leq a_m\leq a_n+\frac{1}{n}\)，则\(|a_m-a_n|\leq\frac{1}{n}<\varepsilon\)，从而\(\{a_n\}\)是一个Cauchy序列，设其收敛于\(x\)，显然\(x\)是\(A\)的一个上界，任取\(A\)的一个上界\(y\)，则\(\forall n,a_n-\frac{1}{n}<y\)。
假设\(x>y\)，取\(z=\frac{x-y}{2},\exists N_1,\forall n>N_1,|a_n-x|<z\)，取\(N=\max\{N_1,\left\lceil\frac{1}{z}\right \rceil\}\)，由\(\forall n>N,a_n-\frac{1}{n}>x-2z=y\)与上述矛盾，得\(x\leq y\)，即\(x=\sup A\)。 \(\Box\)
Remark 到此我们已经能感觉到Cauchy完备与Dedekind完备的联系了，事实上Dedekind完备等价于Archimedes性+Cauchy完备。
三、实数域的唯一性与指数
下文若未特殊说明，默认完备指Dedekind完备。接下来我们开始证明完备的有序域都是同构的。
\(\S3.1\) 完备的有序域的唯一性
任一有序域一定存在一个与\(\mathbb{Q}\)同构的子域，因此下文会直接使用有理数。
Lemma 3.1.1 设\((F,+,\cdot,\leq)\)是一个完备的有序域，则有Archimedes性。
- Proof \(\forall x,y>0_F\) ，令\(A=\{nx\colon n\in\mathbb{N}\}\)，假设\(\forall n\in\mathbb{N},nx<y\)，则\(y\)是\(A\)的上界，由完备性，设\(z=\sup A\)，则\(\exists N,Nx>z-x\)，得\((N+1)x>z\)，这与\(z=\sup A\)矛盾，从而\(\exists n\in\mathbb{N},nx>y\)。 \(\Box\)
事实上，我们只需要证明所有完备的有序域都与上文由Dedekind分割构造的\(\mathbb{R}\)同构即可。
类似Lemma 2.2.2的证明，易得
Lemma 3.1.2 设\((F,+,\cdot,\leq)\)是一个完备的有序域，则有理数在\(F\)上稠密。
Theorem 3.1.1 设\((F,\oplus,\odot,\leq_F)\)是一个完备的有序域，则其与\(\mathbb{R}\)同构。
- Proof 取定\(F\)中一个与\(\mathbb{Q}\)同构的子域\(\mathbb{Q}_*\)，存在一个双射\(\sigma\colon \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}_*\)，满足：
a) \(\forall x,y\in\mathbb{Q},\sigma(x+y)=\sigma(x)+\sigma(y)\)；
b) \(\forall x,y\in\mathbb{Q},\sigma(xy)=\sigma(x)\sigma(y)\)；
c) \(\forall x,y\in\mathbb{Q},x<y\iff \sigma(x)<\sigma(y)\)。
\(\forall x\in\mathbb{R}\)，设\(A_x=\{y\in\mathbb{Q}\colon y<x\}\)，定义\(f\colon \mathbb{R}\to F,x\mapsto\sup\limits_{y\in A_x}\sigma(y)\)。
\(\forall x\in\mathbb{Q}\)，\(\sigma(x)\)是\(\{\sigma(y)\colon y\in A_x\}\)的一个上界，则\(f(x)\leq\sigma(x)\)。
假设\(f(x)<\sigma(x)\)，由Lemma 3.1.2 \[ \exists z\in\mathbb{Q},f(x)<\sigma(z)<\sigma(x), \] 则\(z<x\)即\(z\in A_x\) ，这与\(f(x)\)的定义矛盾，从而\(f(x)=\sigma(x)\)。
\(\forall x,y\in\mathbb{R}\)，若\(x<y\)则\(A_x\subset A_y\)，任取\(p,q\in\mathbb{Q},x<p<q<y\)，有\(p,q\in A_y\)且\(p,q\notin A_x\)。则\(\sigma(p),\sigma(q)\)都是\(\{\sigma(z)\colon z\in A_x\}\)的上界，从而\(f(x)\leq\sigma(p)<\sigma(q)\leq f(y)\)。类似地，利用Lemma 3.1.2，易验证\(f\)是一个双射。
\(\forall x,y\in\mathbb{R}\)，假设\(f(x+y)>f(x)+f(y)\)，令\(z\in\mathbb{Q}\)满足\(f(x+y)>f(z)>f(x)+f(y)\), 则\(z<x+y\)，从而 \[ \exists p,q\in\mathbb{Q},p<x,q<y,p+q=z, \] 由\(f\)在\(\mathbb{Q}\)上的可加性，\(f(z)=f(p)+f(q)<f(x)+f(y)\)，与上述矛盾，从而\(f(x+y)\leq f(x)+f(y)\)，同理可得\(f(x+y)\geq f(x)+f(y)\)，即\(f(x)=f(y)\)。
同理，易证得\(\forall x,y\in\mathbb{R}^+,f(xy)=f(x)f(y)\)，再利用乘法逆元即可推广到\(\mathbb{R}\)上。 \(\Box\)
由此，实数域的唯一性就被证明了。
\(\S3.2\) 实数的指数运算
笔记中对指数的定义参考了Tao在Analysis中的定义，将\(0\)的\(0\)次幂定义为\(1\)。
Definition 3.2.1 定义实数的自然数次幂\(\forall x\in\mathbb{R},x^0\coloneqq 1,\forall n\in\mathbb{N},x^{n+1}\coloneqq x^n\cdot x\)；定义实数的负整数次幂\(\forall x\in\mathbb{R},n\in\mathbb{Z}^+,x^{-n}\coloneqq\frac{1}{x^n}\)。
Definition 3.2.2 定义实数的\(n\)次根\(\forall x\in\mathbb{R},x\geq0,\forall n\in\mathbb{Z}^+,x^{\frac{1}{n}}\coloneqq\sup\{y\in\mathbb{R}\colon y\geq0\wedge y^n\leq x\}\)。
Theorem 3.2.1 上述定义的\(n\)次根是实数，且\((x^{\frac{1}{n}})^n=x\)。
- Proof 设\(A=\{p\in\mathbb{R}\colon p\geq0\wedge p^n\leq x\},y=\sup A\)，取\(z=\frac{x}{x+1}\)，有\(z^n<z<x\)，从而\(A\)非空，取\(z=x+1\)，有\(z^n\geq z>x\)，从而\(A\)有上界，则\(\sup A\)是实数。
若\(0<a<b\)，则 \[ b^n-a^n=(b-a)\sum_{i=0}^{n-1}a^ib^{n-1-i} \] 假设\(y^n<x\)，取\(h=\frac{\min\{1,\frac{x-y^n}{n(y+1)^{n-1}}\}}{2}\)，令\(a=y,b=y+h\)，可得 \[ (y+h)^n-y^n<hn(y+h)^{n-1}<hn(y+1)^{n-1}<x-y^n, \] 则\((y+h)^n<x\)，即\(y+h\in A\)，这与\(y=\sup A\)矛盾。
假设\(y^n>x\)，取\(q=\frac{y^n-x}{ny^{n-1}}<y\)，任取\(r\geq y-q\)，有 \[ y^n-r^n\leq y^n-(y-q)^n<nqy^{n-1}=y^n-x, \] 即\(r^n>x\)。则\(r=y-q\)是\(A\)的上界，与\(y=\sup A\)矛盾，从而\(y^n=x\)，且\(y<y_0\to y^n<y_0^n\)，从而\(y\)是唯一的。 \(\Box\)
Remark 若\(x,y\in\mathbb{R}^+,n,m\in\mathbb{Z}^+,(xy)^{\frac{1}{n}}=x^\frac{1}{n}y^\frac{1}{n},(x^\frac{1}{n})^\frac{1}{m}=x^\frac{1}{nm}\)。
- Proof 令\(p=x^\frac{1}{n},q=y^\frac{1}{n},xy=p^n q^n=(pq)^n\)，由上述定理证明的唯一性得\((xy)^{\frac{1}{n}}=pq=x^\frac{1}{n}y^\frac{1}{n}\)。
\((p^\frac{1}{m})^{mn}=p^n=x\)，从而\(p^\frac{1}{m}=(x^\frac{1}{n})^\frac{1}{m}=x^\frac{1}{nm}\) 。\(\Box\)
Definition 3.2.3 定义实数的有理数次幂\(\forall x\in\mathbb{R}^+,a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{Z}^+,x^{\frac{a}{b}}\coloneqq(x^{\frac{1}{b}})^a\)。
任意有理数都可以表示成一个整数和一个正整数之比，但表法不唯一，因此还要证明替换公理。
Theorem 3.2.2 实数的有理数次幂是良定义的。
- Proof \(\forall x\in\mathbb{R}^+,a,c\in\mathbb{Z},b,d\in\mathbb{Z}^+\)且\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)。显然\(a,c\)是同号的，则\(a=0\)时显然成立。
当\(a>0\)时，\(ad=bc\)，令\(y=x^\frac{1}{ad}=x^\frac{1}{bc}\)，即\(y=(x^\frac{1}{d})^a=(x^\frac{1}{c})^b\)，得\(y^a=x^\frac{1}{d},y^c=x^\frac{1}{b}\)，
则有\((x^\frac{1}{d})^c=(y^a)^c=(y^c)^a=(x^\frac{1}{b})^a\)。而\(a<0\)时考虑\(\frac{-a}{b}=\frac{-c}{d}\)，利用上述结论和倒数运算即可。 \(\Box\)
Definition 3.2.4 定义实数的实数次幂\(\forall x\in\mathbb{R}^+,y\in\mathbb{R},\) \[ x^y\coloneqq\begin{cases}\sup\{x^z|z\in\mathbb{Q}\wedge z\leq y\},&a\geq 1,\\ \inf\{x^z|z\in\mathbb{Q}\wedge z\leq y\},&0<a<1. \end{cases} \] 在\(y\in\mathbb{Q}\)时，Definition 3.2.3与3.2.4并不冲突，实数次幂运算也满足许多有理数幂满足的运算规律，这里不再赘述。
四、复数域与欧氏空间
\(\S4.1\) 欧式空间
Definition 4.1.1 定义向量空间\(\mathbb{R}^n\coloneqq\mathbb{R}\times\cdots\times\mathbb{R}\coloneqq\{(x_1,\dots,x_n)\colon x_i\in\mathbb{R},i\in\{1,2,\dots,n\}\}\)。
Definition 4.1.2 定义向量空间上的加法与标量乘法：
\((x_1,\dots,x_n)+(y_1,\dots,y_n)\coloneqq(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n),\)
\(\forall\lambda\in\mathbb{R},\lambda(x_1,\dots,x_n)\coloneqq(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n).\)
Definition 4.1.3 定义向量空间的内积\(((x_1,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_n))=\sum_{i=1}^n x_iy_i\)。
Definition 4.1.4 定义向量空间的范数\(|\boldsymbol x|\coloneqq\sqrt{(\boldsymbol x,\boldsymbol x)}\)。
在这些运算下，\(\mathbb{R}^n\)就是欧氏空间了。
\(\S4.2\) 复数域
Definition 4.2.1 称复数域\(\mathbb{C}\)是定义了加法与如下乘法的\(\mathbb{R}^2\)：
\(\forall (a,b),(c,d)\in\mathbb{R}^2,(a,b)\cdot(c,d)\coloneqq(ac-bd,ad+bc)\)
易验证\(\mathbb{C}\)是一个域，且其子域\(\mathbb{R}_*\coloneqq\{(x,0)\colon x\in\mathbb{R}\}\)与\(\mathbb{R}\)同构，之后简记\((x,0)\)为\(x\)。
这里的定义没有涉及到\(-1\)的平方根，但事实上有如下定理：
Theorem 4.2.1 令\(i\coloneqq(0,1)\)，则\(i^2=-1\)。
- Proof \(i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1\)。 \(\Box\)
之后\((a,b)\)常写作\(a+bi\)。
Definition 4.2.2 定义\(z=a+bi\)的实部\({\rm Re}(z)\coloneqq a\)，虚部\({\rm Im}(z)\coloneqq b\)，共轭复数\(\bar{z}\coloneqq a-bi\)。
Theorem 4.2.2 复数域不是序域。
- Proof 假设存在一个全序关系使其满足加法与乘法的关系，则\(i>0\)或\(i<0\)。
若\(i>0\)，则\(i^2=-1>0\)即\(1<0\)，从而\((-1)^2<0\)，这与\((x>0\wedge y>0\to xy>0)\)矛盾。
若\(i<0\)，则\(-i>0,-1=(-i)^2>0\)，同样可导出矛盾，从而不存在使\(\mathbb{C}\)成为序域的序关系。 \(\Box\)