我们已经将自然数集到复数域都构建完了，在开始探讨数列、函数这些数学分析中常见的对象之前，先引入一些基础拓扑知识。
这篇笔记的初衷是记录一下数分学习过程中的所学所想，但在写的时候不经意间就加入了一些讲解性的内容，索性就写成了半讲解半笔记的形式。
\[\require{mathtools}\]
一、可数性
\(\S1.1\) 可数集
Definition 1.1.1 若\(\exists n\in\mathbb{N}\)，使得\(A\)与\(\{x\in\mathbb{N}\colon 1\leq x\leq n\}\)等势，则称\(A\)是有限集，反之为无限集。
Definition 1.1.2 若\(A\)是有限集，或\(A\)与\(\mathbb{N}\)等势，则称\(A\)是可数集，否则称\(A\)是不可数集。
特殊地，称可数无限集为可列集。
Theorem 1.1.1 任意无限集都有可列子集。
- Proof 设\(A\)是一个无限集由选择公理，取\(x_0\in A\)，令\(\phi(0)=x_0\)。\(A_1=A\backslash\{x_0\}\)仍为无限集，因此可取\(x_1\in A\backslash\{x_0\}\)，令\(\phi(1)=x_1\)。同理，对任一正整数\(n\)，在取定\(x_n\)后，\(A_{n+1}=A_n\backslash\{x_n\}\)仍为无限集，由此可取\(x_{n+1}\)。以此取得的\(\{x_n\colon n\in\mathbb N\}\)是\(A\)的可列子集。 \(\Box\)
Theorem 1.1.2 可列集的无限子集是可列集。
- Proof 设\(A\)是一个可列集，\(E\)是\(A\)的一个无限子集，存在一个\(\mathbb{N}\)到\(A\)的双射\(f\)，取\(n_1=\min\{n\in\mathbb{N}\colon f(n)\in E\}\)且 \[ \forall k\in\mathbb{N}\wedge k>1,n_k=\min\{n\in\mathbb{N}|f(n)\in E\backslash\{n_1,\dots,n_{k-1}\}\}. \] 令\(g\colon \mathbb{N}\to A,k\mapsto f(n_k)\)，显然\(g\)是单射。任取\(x\in E\)，必存在\(k'\in\mathbb{N},f(k')=x\)，而\(\{k\in\mathbb{N}\colon k<k'\wedge f(k)\in A\}\)是有限集，则必存在\(k\)使得\(n_k=k'\)，即\(g\)是满射，从而\(g\)是双射，因此\(E\)是可列集。 \(\Box\)
Theorem 1.1.3 可列个可列集之并是可列集。
- Proof 将可列个可列集编号为\(A_1,\dots,A_n,\dots\)。任取其中一个集合\(A_m\)，将\(A_m\)中的元素编号为\(\{a_{(m,1)},\dots,a_{(m,n),\dots}\}\)。令 \[ \sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N},x\mapsto\max\{x\in\mathbb{N}|\frac{x(x+1)}{2}<n\},\\ \phi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\times\mathbb{N},n\mapsto(n-\frac{\sigma(n)(\sigma(n)+1)}{2},\frac{\sigma(n)(\sigma(n)+3)}{2}-n+2), \] 易验证\(\phi\)是双射，令\(f\colon \mathbb{N}\to\bigcup\limits_{i=1}^{+\infty} A_i,n\mapsto a_{\phi(n)}\)，显然这也是一个双射，即\(\bigcup\limits_{i=1}^{+\infty} A_i\)是可列集。 \(\Box\)
Theorem 1.1.4 \(\mathbb{Z},\mathbb{Q}\)是可列集。
- Proof 由\(\mathbb{Z}\)定义可知\(|\mathbb{Z}|\leq|\mathbb{N}\times\mathbb{N}|\)，又由Theorem 1.1.3，\(|\mathbb{N}\times\mathbb{N}|=|\mathbb{N}|\)。
\(\mathbb{Z}\)是无限集，则\(|\mathbb{N}|\leq|\mathbb{Z}|\)，因此\(|\mathbb{Z}|=|\mathbb{N}|\)。同理\(|\mathbb{Q}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{N}|\)，即\(\mathbb{Z},\mathbb{Q}\)是可列集。 \(\Box\)
Definition 1.1.3 \(x\in\mathbb{R}\)称为代数数，当且仅当\(\exists n\in\mathbb{N}^+\exists c_0,\dots,c_n\in\mathbb{Z},\sum_{i=0}^n c_ix^i=0(c_n\neq 0)\)。
Theorem 1.1.5 全体代数数的集合是可列集。
- Proof 设全体代数数的集合为\(A\)，全体整系数方程的集合为\(B\)，显然\(|\mathbb{N}|\leq|A|\leq|B|\)且\(|B|\leq|\bigcup\limits_{i=0}^\infty\mathbb{Z}^i|\)。又由Theorem 1.1.3和1.1.4，\(|B|\leq|\mathbb{N}|\)，即\(|\mathbb{N}|\leq|A|\leq|\mathbb{N}|\)，从而\(|A|=|\mathbb{N}|\)，即全体代数数的集合是可列集。 \(\Box\)
\(\S1.2\) 可数性讨论
Theorem 1.2.1 设\(A\)是无限集，\(B\)是任意集合，且\(|A|\geq|B|\)，则\(|A\cup B|=|A|\)。
- Proof 对任意集合\(S\)，记\(S_i=S\times\{i\}=\{(x,i)\colon x\in S\},i=1,2\)，设\(\Omega_X\)是所有将\((X_1\cup X_2)\)映入\(X\)的双射的集合，\(\Omega=\bigcup\limits_{X\subset A}\Omega_X\)。考虑如下定义的\(f_\mathbb{N}:(\mathbb{N}_1\cup\mathbb{N}_2)\to\mathbb{N}\)： \[ f_\mathbb{N}(x)=\begin{cases} 2x&,i=1\\ 2x+1&,i=2 \end{cases} \] 易验证这是一个双射，从而\(\Omega\neq\emptyset\)，集合包含关系为\(\Omega\)上的偏序关系。任取\(\Omega\)的一个全序子集，类似笔记(1)中基数全序关系的证明，该全序子集有上界，则由Zorn引理，\(\Omega\)有最大元\(\phi\)。
设\(\phi\)对应的子集为\(Y\)，设\(W=A\backslash Y\)，假设\(W\)是无限集，则存在可数集\(Z\subset W\)，而\(Z\)必然存在从\(Z_1\cup Z_2\)到\(Z\)的双射\(g\)，从而存在\((Y\cup Z)_1\cup(Y\cup Z)_2\)到\((Y\cup Z)\)的双射，这与\(\phi\)是最大元矛盾，从而\(W\)是有限集，不妨设\(W=\{p_1,\dots,p_n\}\)，设\(Y\)的一个可列子集为\(Q=\{q_1,\dots,q_n,\dots\}\)，考虑如下定义的\(Y\)到\(A\)的映射： \[ \sigma(x)=\begin{cases} x,&x\in (Y\backslash Q),\\ p_i,&x=q_i,i=1,2,\dots,n,\\ q_{i-n},&x=q_i,i>n, \end{cases} \] 易验证这是一个双射，从而\(|Y|=|A|\)，又由\(\phi\in\Omega\)，有\(|Y_1\cup Y_2|=|Y|\)，则\(|A|\leq |A\cup B|\leq|A_1\cup A_2|=|A|\)，即\(|A\cup B|=|A|\)。 \(\Box\)
Theorem 1.2.2 \(\forall n\in\mathbb{N}^+,|\mathbb{R}^n|=|\mathbb{R}|\)。
- Proof 先证明\(|\mathbb{R}\times\mathbb{R}|=|\mathbb{R}|\)，设\(\Omega_X\)是所有将\((X\cup X)\)映入\(X\)的双射的集合，\(\Omega=\bigcup\limits_{x\subset\mathbb R}\Omega_X\)。
由\(\mathbb{N}\subset\mathbb{R}\)及Theorem 1.1.3，存在从\(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\)到\(\mathbb{N}\)的双射，则\(\Omega\neq\emptyset\)，集合包含关系为\(\Omega\)上的偏序关系。同上一个证明，由Zorn引理，\(\Omega\)有最大元\(\phi\)，设其对应的子集为\(Y\)，假设\(|\mathbb{R}\backslash Y|\geq|Y|\)，则\(\exists Z\subset \mathbb{R}\backslash Y,|Z|=|Y|\)，即存在\(Y\times Y\)到\(Y\)和\(Z\times Z\)到\(Z\)的双射，且\(Y\cap Z=\emptyset\)，于是存在\((Y\cup Z)\times(Y\cup Z)\)到\(Y\cup Z\)的双射，这与\(\phi\)是最大元矛盾，从而\(|\mathbb{R}\backslash Y|<|Y|\)，由Theorem 1.2.1，\(|\mathbb{R}|=|Y|\)。又由\(\phi\in\Omega\)，则\(|Y\times Y|=|Y|\)，即\(|\mathbb{R}\times\mathbb{R}|=|\mathbb{R}|\)。归纳可得，\(\forall n\in\mathbb{N}^+,|\mathbb{R}^n|=|\mathbb{R}|\)。 \(\Box\)
Remark 由该定理，\(|\mathbb{C}|=|\mathbb{R}|=|\mathbb{R}^n|,n\in\mathbb{N}^+\)。
二、度量空间
\(\S2.1\) 度量空间定义与性质
Definition 2.1.1 设\(X\)是一个集合，称\(X\)上的一个映射\(d\colon X\times X\to [0,+\infty)\)是度量，若\(d\)满足：
(a) \(\forall x,y\in X,d(x,y)=0\iff x=y\)；
(b) \(\forall x,y\in X,d(x,y)=d(y,x)\)；
(c) \(\forall x,y,z\in d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\)。
并称\((X,d)\)为度量空间，称\(X\)中的元素为点。
Definition 2.1.2 \(\forall n\in\mathbb{N}^+\)，定义\(\mathbb{R}^n\)上的Euclid度量(\(l^2\)度量) \[ d_{l^2}\colon \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},((x_1,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_n))\mapsto\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}. \]
Remark 若无特殊说明，默认在Euclid空间上采用Euclid度量。特殊地，在\(\mathbb{R}\)上默认度量\(d(x,y)=|x-y|\)。
Definition 2.1.3 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(x_0\)是\(X\)上一点，设\(r>0\)，定义\(X\)中在度量\(d\)下以\(x_0\)为中心，\(r\)为半径的开球\(B_{(X,d)}(x_0,r)\coloneqq\{x\in X\colon d(x,x_0)<r\}\)。类似地可以定义闭球，下文默认球指的是开球，若度量空间已确定，则可简记\(B_{(X,d)}(x_0,r)\)为\(B(x_0,r)\)。
Definition 2.1.4 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是\(X\)的一个子集。若\(\forall x\in E\exists r>0(B(x_0,r)\subset E)\)，则称\(x_0\)是\(E\)的内点；若\(\forall x\in E\exists r>0(B(x_0,r)\cap E=\emptyset)\)，则称\(x_0\)是\(E\)的外点；若\(x_0\)既不是\(E\)的外点也不是内点，则称\(x_0\)是\(E\)的边界点。定义\(E\)的余集\(E^c\coloneqq\{x\in X\colon x\notin E\}\)，\(E\)的开核\(E^\circ\)为\(E\)中所有内点的集合，\(E\)的边界\(\partial E\)为\(E\)的所有边界点的集合。
Definition 2.1.5 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是\(X\)的一个子集，若\(E\)中的点都是内点，则称\(E\)是开集。
Definition 2.1.6 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是\(X\)的一个子集。若\(\forall r>0\exists x\in B(x_0,r)(x\in E\wedge x\neq x_0)\)，则称\(x_0\)是\(E\)的极限点。若\(E\)的每个极限点都在\(E\)中，则称\(E\)是闭集。
Definition 2.1.7 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是\(X\)的一个子集，定义\(E\)的直径\(\text{diam}E\coloneqq\sup\limits_{x,y\in E}d(x,y)\)。
Theorem 2.1.1 设\(X\)的一族集为\(\{E_\alpha\}\)，则\((\bigcup_{\alpha}E_\alpha)^c=\bigcap_{\alpha}(E^c_\alpha)\)。
- Proof 令\(A=(\bigcup_{\alpha}E_\alpha)^c,B=\bigcap_{\alpha}(E^c_\alpha)\)。若\(x\in A\)，则\(x\notin\bigcup_{\alpha}E_\alpha\)，即\(\forall\alpha,x\notin E_\alpha\)，则\(x\in E_\alpha^c\)，从而\(x\in B\)，得\(A\subset B\)。
若\(x\in B\)，则\(\forall\alpha,x\in E_\alpha^c\)，即\(x\not\in E_\alpha\)，从而\(x\notin\bigcup_{\alpha}E_\alpha\)，得\(x\in A\)，即\(B\subset A\)。因此\(A=B\)。 \(\Box\)
Theorem 2.1.2 \(E\)是开集当且仅当\(E^c\)是闭集。
- Proof \(E\)是空集时显然成立，下面考虑\(E\)非空：
设\(E^c\)是闭集，取\(x\in E\)，有\(x\notin E^c\)且\(x\)不是\(E^c\)的极限点，则\(\exists r>0,B(x,r)\cap E^c=\emptyset\)，即\(B(x,r)\subset E\)，从而\(x\)是\(E\)的内点，即\(E\)是开集。
设\(E\)是开集，令\(x\)是\(E^c\)的一个极限点，则\(\forall r>0,B(x,r)\cap E^c\neq\emptyset\)，即\(x\)不是\(E\)的内点，从而\(x\notin E\)，
即\(x\in E^{c}\)，得\(E^c\)是闭集。 \(\Box\)
Remark \(E\)是闭集当且仅当\(E^c\)是开集。
Theorem 2.1.3 以下四个命题为真：
(a) 任意一组开集的并是开集；
(b) 任意一组闭集的交是闭集；
(c) 任意有限个开集的交是开集；
(d) 任意有限个闭集的并是闭集。
- Proof 任取一组开集\(\{G_\alpha\}\)，令\(G=\bigcup_{\alpha}G_\alpha\)。若\(x\in G\)，则\(\exists\alpha,x\in G_\alpha\)，从而\(x\)是\(G_\alpha\)的一个内点，即\(x\)是\(G\)的一个内点，即\(G\)是开集。
任取一组闭集\(\{F_\alpha\}\)，\(\forall\alpha\)满足\(F_\alpha^c\)是开集。而\((\bigcap_\alpha F_\alpha)^c=\bigcup_\alpha(F_\alpha^c)\)为开集，则\(\bigcap_\alpha F_\alpha\)为闭集。
任取有限个开集\(\{G_1,\dots,G_n\}\)，令\(H=\bigcap_{i=1}^n G_i\)，\(\forall x\in H,\exists r_i,B(x,r_i)\in G_i,i=1,\dots,n\)，
取\(r=\min\limits_{i=1,\dots,n}r_i,\forall i\in\{1,\dots,n\},B(x,r)\subset G_i\)，即\(B(x,r)\subset H\)，从而\(H\)是开集。同理通过取余集可得(d)成立。 \(\Box\)
Definition 2.1.7 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是\(X\)的一个子集，\(E'\)是\(E\)的所有极限点组成的集合，定义\(E\)的闭包\(\bar{E}\coloneqq E\cup E'\)。
Theorem 2.1.4 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是\(X\)的一个子集，则以下三个命题为真：
(a) \(\bar{E}\)是闭集；
(b) \(E=\bar{E}\iff E\)是闭集；
(c) 若闭集\(F\subset X\)且\(E\subset F\)，则\(\bar{E}\subset F\)。
- Proof 若\(x\in X\)且\(x\notin\bar{E}\)，则\(\exists r_0,B(x,r_0)\cap E=\emptyset\)，假设\(\forall 0<r<r_0,B(x,r)\cap\bar{E}\neq\emptyset\)，
取\(y\in B(x,r)\cap\bar{E}\)，易知\(y\)是\(E\)的极限点，则\(B(y,r-d(x,y))\cap E\neq\emptyset\)，取\(z\in B(y,r-d(x,y))\cap E\)有 \[ d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)<d(x,y)+r-d(x,y)=r, \] 即\(z\in B(x,r_0)\)，与上述矛盾，从而\(B(x,\frac{r_0}{2})\cap\bar{E}=\emptyset\)，即\(\bar{E}^c\)是开集，从而\(\bar{E}\)是闭集。
若\(E=\bar{E}\)，则显然\(E\)是闭集。若\(E\)是闭集，由定义\(E'\subset E\)，即\(\bar{E}=E\)。
若\(E\subset F\)，则\(E'\subset F'\)，又由\(F\)是闭集，则\(F'\subset F\)，即\(E'\subset F\)，从而\(\bar{E}\subset F\)。 \(\Box\)
Remark 从(a)和(c)可以看出，\(\bar{E}\)是\(X\)的子集中最小的包含\(E\)的闭集。
Theorem 2.1.5 设\(Y\subset X\)且\(Y\)的子集\(E\)关于\(Y\)是开的当且仅当存在一个\(X\)的开子集\(G\)满足\(E=Y\cap G\)。
- Proof 设\(E\)关于\(Y\)是开的，则\(\forall x\in E,\exists r_x>0,B_Y(x,r_x)\subset E\)。令\(G=\bigcup_{x\in E}B_X(x,r_x)\)，易知\(G\)是开集。而\(\forall x\in E,x\in B_X(x,r_x)\)，从而\(E\subset G\cap Y\)。
任取\(\forall x\in E,(B_X(x,r_x)\cap Y)\subset E\)，即\((G\cap Y)\subset E\)，从而\(E=Y\cap G\)。
设\(G\)是\(X\)的一个开集，\(\forall x\in E,\exists r_x>0,B_X(x,r_x)\subset G\)，有\((B_X(x,r_x)\cap Y)\subset E\)，而\(B_X(x,r_x)\cap Y\)是\(Y\)上的一个球，则\(E\)是开集。 \(\Box\)
\(\S2.2\) 完全集与连通集
Definition 2.2.1 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是\(X\)的一个子集，称\(E\)是完全集当且仅当\(E\)是闭集且\(E\)的每一个点都是其极限点。
Definition 2.2.2 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(A,B\)是\(X\)的两个子集，若\(A\cap\bar{B}=\bar{A}\cap B=\emptyset\)，则称\(A,B\)是分离的。
Definition 2.2.3 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是\(X\)的一个子集，称\(E\)是连通集当且仅当\(E\)不能表示为两个非空分离集的并。
三、完备性、紧性、完全有界性
本节先从更高的观点出发，讨论完备性与紧性。事实上，紧性还与连续性密切相关。我们先来证明紧性等价于完备性+完全有界性。
\(\S3.1\) 基本概念与等价性
为了更好的讨论紧集和完备性的联系，我们将之前序列收敛与Cauchy序列等定义拓展到度量空间上。
Definition 3.1.1 设\((X,d)\)是一个度量空间，称\(X\)的一个序列\(\{x_n\}\)在\(X\)上收敛(或有极限)，若\(\exists y\in X\colon \forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n>N,d(x_n,y)<\varepsilon\)，并称\(\{x_n\}\)收敛于\(y\)，记作\(\lim\limits_{n\to\infty} x_n=y\)或\(x_n\to y\)。
Definition 3.1.2 设\((X,d)\)是一个度量空间，称\(X\)的一个序列\(\{x_n\}\)是\(X\)的Cauchy序列，若\(\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n,m>N,d(x_n,x_m)<\varepsilon\)。
Remark 令\(\{x_n\}\)是度量空间\((X,d)\)上的序列，\(E_N\)是由点\(x_N,x_{N+1},\dots\)组成的集合，易见\(\{x_n\}\)是Cauchy序列当且仅当\(\lim\limits_{N\to\infty}\text{diam}E_N=0\)。
Definition 3.1.3 设\(\{x_n\}_{n=m}^\infty\)是一个序列，\(\{n_k\}\)是\(\mathbb{Z}\)上的严格单调递增序列且满足\(n_1\geq m\)，则\(\{x_{n_k}\}\)称为\(\{x_n\}\)的一个子序列。
不难看出，原先对\(\mathbb Q\)和\(\mathbb R\)的Cauchy序列的定义与在\(l_2\)度量下的定义等价，而对欧氏空间，我们默认度量为\(l_2\)度量，因此两个定义并不冲突。
Definition 3.1.4 设\((X,d)\)是一个度量空间，若\(X\)的每个Cauchy序列均在\(X\)上收敛，则称它是完备的。
在讨论实数域的时候我们默认完备指Dedekind完备，而之后讨论度量空间则指上述定义的Cauchy完备。
Definition 3.1.5 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是\(X\)的一个子集，称\(E\)是有界的当且仅当\(\exists M>0,x\in X,E\subset B(x,M)\)。
Definition 3.1.6 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是\(X\)的一个子集，\(X\)上的一组由开集构成的集族\(\{G_\alpha\}\)称为\(E\)的开覆盖当且仅当\(E\subset \bigcup_{\alpha} G_\alpha\)。
Definition 3.1.7 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是\(X\)的一个子集，称\(E\)是紧集当且仅当\(E\)的任意一组开覆盖都存在有限子集族为\(E\)的开覆盖。
Definition 3.1.8 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是\(X\)的一个子集，称\(E\)是完全有界的当且仅当\(\forall\varepsilon>0,\exists n\in\mathbb{N}^+\)及有限个球\(B(x_1,\varepsilon),\dots,B(x_n,\varepsilon)\)是\(E\)的一个开覆盖。
Definition 3.1.9 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是\(X\)的一个子集，称\(E\)是列紧的当且仅当\(E\)的所有序列都有收敛子列，若存在某个收敛子列收敛于\(E\)，则称\(E\)是自列紧的。
Theorem 3.1.1 度量空间上的完全有界集是有界集。
- Proof 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是该度量空间上的完全有界集。
取\(\varepsilon=1\)，由定义，\(E\subset\bigcup_{i=1}^n B(x_i,1)\)。取\(D=\max\limits_{i=1,\dots,n}d(x_1,x_i)\)，则
\[ \forall i=1,\dots,n,B(x_i,1)\subset B(x_1,D+1), \] 即\(E\subset\bigcup_{i=1}^n B(x_i,1)\subset B(x_1,D+1)\)，从而\(E\)有界。 \(\Box\)
Theorem 3.1.2 度量空间上的紧集是完全有界集。
- Proof 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是该度量空间上的紧集。
\(\forall\varepsilon>0,E\subset\bigcup_{x\in E}B(x,\varepsilon)\)，则\(\{B(x,\varepsilon)\colon x\in E\}\)是\(E\)的一个开覆盖，由紧集的定义，存在一个有限开覆盖\(G\subset\{B(x,\varepsilon)\colon x\in E\}\)，令\(n=|G|\)，且\(G\)中元素均为球，显然\(G\)是完全有界集。 \(\Box\)
为了证明紧集是完备的，我们先引入一个关于Cauchy序列的引理。
Lemma 3.1.1 若一个度量空间上的一个Cauchy序列存在收敛子列，则该Cauchy序列收敛。
- Proof 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(\{a_n\}\)是该度量空间上的一个Cauchy序列且存在收敛子列\(\{a_{n_k}\}\)。
则\(\exists A\in X,\forall\varepsilon>0,\exists N_0,\forall k>N_0,d(a_{n_k},A)<\frac{\varepsilon}{2}\)且\(\exists N_1,\forall n,m>N_1,d(a_n,a_m)<\frac{\varepsilon}{2}\)。
取\(N=\max\{n_{N_0},N_1\}\)，则\(\forall n>N,\exists n_k>N,d(a_{n_k},A)<\frac{\varepsilon}{2}\)，从而\(d(a_n,A)\leq d(a_n,a_{n_k})+d(a_{n_k},A)<\varepsilon\)，即\(\{a_n\}\)收敛于\(A\) \(\Box\)
Theorem 3.1.3 度量空间上的紧集是自列紧集。
- Proof 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是该度量空间上的紧集，\(\{a_n\}\)是\(E\)上的一个序列。
考虑\(E\)的子集\(F=\{x\in E\colon \exists n\in\mathbb{N}^+,x=a_n\}\)，假设\(F\)不存在极限点，则\(\exists\varepsilon_0,\forall x\in F,B(x,\varepsilon_0)\)中只有有限个点，又由于\(\{B(x,\varepsilon_0)\colon x\in F\}\)是\(F\)的开覆盖，则存在有限开覆盖，从而\(F\)中只有有限个元素，显然矛盾。
设\(F\)的一个极限点为\(x_0\)，取\(\varepsilon_1=1\)，由选择公理，可取\(a_{n_1}\in B_E(x_0,\varepsilon_1)\)。
再取\(\varepsilon_2=\min\{d(x_0,a_{n_1}),\frac{1}{2}\}\)，存在\(n_2>n_1\)且\(a_{n_2}\in B_E(x_0,\varepsilon_2)\)，否则与\(B_E(x_0,\varepsilon_2)\)中有无限个点矛盾。
同理，依次取\(\varepsilon_k=\min\{d(x_0,a_{n_1}),\frac{1}{k-1}\},k\in\mathbb{N}\)且\(k>1\)，存在\(n_k>n_{k-1}\)且\(a_{n_k}\in B_E(x_0,\varepsilon_k)\)。
由此可得到\(\{a_n\}\)的一个收敛子序列\(\{a_{n_k}\}\)。 \(\Box\)
Theorem 3.1.4 度量空间上的紧集是完备集。
- Proof 任取紧集上的一个Cauchy序列，由Theorem 3.1.3和Lemma 3.1.1，该序列在该紧集上收敛。 \(\Box\)
到此，我们已经知道紧集是完全有界的完备集了，但为了证明等价性，我们还要证明完全有界的完备集是紧集。
Theorem 3.1.5 度量空间上的自列紧集是紧集。
- Proof 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是该度量空间上的自列紧集，\(\{G_\alpha\}\)是\(E\)的一组开覆盖。
假设\(\{G_\alpha\}\)不存在有限子集为\(E\)的开覆盖，\(\forall x\in E,\exists G_\alpha,x\in G_\alpha\)，由开集的定义，\(\exists r>0,B(x,r)\in G_\alpha\)，设 \[ r(x)=\sup\{r>0|B(x,r)\in G_\alpha\},R=\inf\{r(x)|x\in E\}, \] 显然\(\forall x\in E,r(x)>0\)，则\(R\geq 0\)。
若\(R=0\)，则\(\forall n\in\mathbb{N}^+,\exists x\in E,r(x)<\frac{1}{n}\)，由选择公理，\(\forall n\in\mathbb{N}^+\)，选取\(x_i\in E\)使得\(r(x_i)<\frac{1}{n}\)。
则考虑序列\(\{x_n\}\)的一个收敛子列收敛于\(y\in E\)，且有\(\lim\limits_{n\to\infty}r(x_n)=0\)，设\(B(y,r_y)\in G_{\alpha'}\)。
取\(\varepsilon=\frac{r_y}{2},\exists N,\forall n>N,d(x_n,y)<\frac{r_y}{2}\)即\(B(x_n,r_y)\in G_{\alpha'}\)，则 \[ R=\min\{r_y,r(x_1),\dots,r(x_N)\}, \] 这与\(R=0\)矛盾，从而\(R>0\)，则\(\forall x\in E,r(x)>\frac{R}{2}\)，即\(\forall x\in E,\exists G_\alpha,B(x,\frac{R}{2})\in G_\alpha\)。
由选择公理，任选\(y_1\in E\)，由假设，\(B(y_1,\frac{R}{2})\in G_\alpha\)且\(G_\alpha\)不是\(E\)的开覆盖，则从\(E\backslash B_E(y_1,\frac{R}{2})\)中任选一点\(y_2\)，依次选取，若已经选取了\(i\)个点，由假设，必然可以从剩下的点中选取\(y_{i+1}\)，由此得到一个序列\(\{y_n\}\)。
显然\(\forall n,m\in\mathbb{N}^+,d(y_n,y_m)\geq R\)，则\(\{y_n\}\)必然不存在收敛子列，这与\(E\)是自列紧集矛盾，从而\(\{G_\alpha\}\)存在有限子集为\(E\)的开覆盖，即\(E\)是紧集。 \(\Box\)
Remark 由Theorem 3.1.3和Theorem 3.1.5，度量空间上的紧集和自列紧集是等价的概念。
Theorem 3.1.6 度量空间上的完全有界的完备集是紧集。
- Proof 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是该度量空间上完全有界的完备集，任取\(E\)的一个序列\(\{x_n\}\)。
由\(E\)的完全有界性，取\(\varepsilon_1=1,\exists n_1\in\mathbb{N}^+\)与\(E\)的有限开覆盖\(\{B(y_{(1,1)},1),\dots,B(y_{(n_1,1)},1)\}\)，则至少有一个开球中有无限个\(\{x_n\}\)中的点，按原顺序依次排列成\(\{x_n\}\)的一个子序列\(\{x_{(n,1)}\}\)。
依次，\(\forall i>1\)，取\(\varepsilon_i=\frac{1}{i},\exists n_i\in\mathbb{N}^+\)与\(E\)的有限开覆盖\(\{B(y_{(1,i)},\frac{1}{i}),\dots,B(y_{(n_i,i)},\frac{1}{i})\}\)，同理至少有一个开球中有无限个\(\{x_{(n,i-1)}\}\)中的点，按原顺序依次排列成\(\{x_{(n,i-1)}\}\)的一个子序列\(\{x_{(n,i)}\}\)。
令\(z_n=x_{(n,n)}\)，显然\(\{z_n\}\)是\(\{x_n\}\)的一个子序列，\(\forall\varepsilon>0\)，取\(N=[\frac{2}{\varepsilon}]+1\)，则\(\forall n>N\)，\(z_n\)为\(\{x_{(N,n)}\}\)中的点，即\(z_n\)在一个半径为\(\frac{1}{N}<\frac{\varepsilon}{2}\)的开球中，从而\(\forall n,m>N,d(z_n,z_m)<\varepsilon\)，即\(\{z_n\}\)是Cauchy序列。
又由\(E\)是完备集，得\(\{z_n\}\)在\(E\)上收敛，即\(E\)是自列紧集，即\(E\)是紧集。 \(\Box\)
Theorem 3.1.7(Heine–Borel定理) 度量空间上的一个集合为紧集当且仅当其为完全有界的完备集。
- Proof 由Theorem 3.1.2，3.1.4和3.1.6可得。 \(\Box\)
\(\S3.2\)紧集的性质
由Theorem 2.1.5可知，一个集合是否是开集需要考虑其被放置在哪个空间中，而紧性则表现得更好。
Theorem 3.2.1 设\((X,d)\)是一个度量空间且\(Z\subset Y\subset X\)，则\(Z\)关于\(Y\)是紧的当且仅当\(Z\)关于\(X\)是紧的。
- Proof 设\(Z\)关于\(X\)是紧的，任取一组\(Y\)上一组\(Z\)的开覆盖\(\{G_\alpha\}\)，这也是\(X\)上一组\(Z\)的开覆盖，从而存在有限开覆盖\(\{G_{\alpha_i}\colon i=1,\dots,n\}\)。又由\(Z\subset Y\subset X\)，结合Theorem 2.1.5，\(\{G_{\alpha_i}\cap Y\colon i=1,\dots,n\}\)是\(Y\)上一组\(Z\)的有限开覆盖，从而\(Z\)关于\(Y\)是紧的。
设\(Z\)关于\(Y\)是紧的，任取\(X\)上一组\(Z\)的开覆盖\(\{G_\alpha\}\)。同上，\(\{G_\alpha\cap Y\}\)是\(Y\)上的一组\(Z\)的开覆盖，则存在\(Y\)上一组\(Z\)的有限开覆盖\(\{G_{\alpha_i}\cap Y\colon i=1,\dots,n\}\)。又由Theorem 2.1.5，\(\{G_{\alpha_i}\colon i=1,\dots,n\}\)是\(Z\)的一组有限开覆盖，从而\(Z\)关于\(X\)是紧的。 \(\Box\)
紧集与闭集也有密切的联系。
Theorem 3.2.2 度量空间的紧集是闭集。
- Proof 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是该度量空间上的一个紧集，则只需证\(E^c\)是开集。
若\(E^c=\emptyset\)，则显然成立，考虑\(E^c\neq\emptyset\)，任取\(x\in E^c\)，\(\forall y\in E\)，令 \[ V_y=B(x,\frac{d(x,y)}{2}),W_y=B(y,\frac{d(x,y)}{2}), \] 则\(\{W_y\colon y\in E\}\)是\(E\)的一组开覆盖，从而存在有限开覆盖\(\{W_{y_1},\dots,W_{y_n}\}\)。
又令\(V=\bigcap\limits_{i=1}^n V_{y_i}\)，这是一个开集，则存在一个开球\(B(x)\in V\subset E^c\)，从而\(x\)是内点，即\(E^c\)是开集。 \(\Box\)
Remark 一个度量空间上有闭集\(A\)和紧集\(B\)，则\(A\cap B\)是紧集。
Theorem 3.2.3 度量空间中紧集的闭子集是紧集。
- Proof 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是一个紧集，\(F\)是\(E\)的一个闭子集。
设\(\{G_\alpha\}\)是\(F\)的一组开覆盖，则\(\{G_\alpha\}\cup F^c\)是\(E\)的开覆盖，取其有限子覆盖\(\phi\)，
若\(F^c\notin\phi\)，则\(\phi\)是\(\{G_\alpha\}\)的子集且是\(E\)的有限开覆盖，否则取\(\phi\backslash F^c\)，即可得\(F\)是紧集。 \(\Box\)
Theorem 3.2.4 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(\{G_\alpha\}\)是\(X\)上的一组紧集，且\(\{G_\alpha\}\)中任意有限个集合的交非空，则\(\bigcap G_\alpha\)非空。
- Proof 假设\(\bigcap G_\alpha=\emptyset\)，由选择公理，取一个\(\{G_\alpha\}\)中的集合\(G\)，其余所有集合的余集构成\(G\)的一个开覆盖。
考虑一个有限开覆盖\(\{G^c_{\alpha_1},\dots,G^c_{\alpha_n}\}\)，由Theorem 2.1.1，\(G\subset \bigcup_{i=1}^n G^c_{\alpha_i}=(\bigcap_{i=1}^n G_{\alpha_i})^c\)，即\(G\cap(\bigcap_{i=1}^n G_{\alpha_i})=\emptyset\)，这与\(\{G_\alpha\}\)中有限个集合的交非空矛盾，从而\(\bigcap G_\alpha\neq\emptyset\)。 \(\Box\)
Remark 紧集的该性质被称为有限交性质。
由该定理，可以导出度量空间紧集上的闭集套定理。
Theorem 3.2.5(闭集套定理) 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是该度量空间上的一个紧集，\(\{I_n\}\)是\(E\)的闭子集序列，满足\(I_{n+1}\subset I_n,\forall n\in\mathbb{N}^+,\lim\limits_{n\to\infty}\text{diam}I_n=0\)，则\(\bigcap_{i=1}^\infty I_i\)中恰好有唯一一个点。
- Proof 由Theorem 3.2.4可知\(\bigcap_{i=1}^\infty I_i\neq\emptyset\)。设\(x,y\in\bigcap_{i=1}^\infty I_i\)，若\(x\neq y\)，设\(D=d(x,y)\)，易知\(\forall n>N,\text{diam}I_n\geq D\)，又由\(\lim\limits_{n\to\infty}\text{diam}I_n=0\),\(\exists N,\forall n>N,\text{diam}I_n<D\)，两者矛盾，从而\(x=y\)。 \(\Box\)
\(\S3.3\)紧性与\(\mathbb{R}^n\)
回归数学分析的内容，我们在\(\mathbb{R}^n\)(默认\(l^2\)度量)上讨论紧性。
Theorem 3.3.1 度量空间上完备集的闭子集是完备集。
- Proof 设\((X,d)\)是一个度量空间，\(E\)是该度量空间上的一个完备集，\(F\)是\(E\)的一个闭子集。任取\(F\)上的Cauchy序列\(\{x_n\}\)，其收敛于\(E\)中的点\(y\)，则\(\forall\varepsilon,B(y,\varepsilon)\)中有无限个\(F\)中的点，即\(y\)是\(F\)的一个极限点，由闭集的定义，\(y\in F\)，从而\(\{x_n\}\)在\(F\)上收敛。 \(\Box\)
Theorem 3.3.2 \(\mathbb{R}^n\)上的一个集合是紧集当且仅当它是有界闭集。
- Proof 充分性显然，考虑必要性，令\(E\)是\(\mathbb{R}^n\)上的有界闭集，由Theorem 3.3.1，\(E\)是完备集。
设\(E\)在球\(B(x,r)\)中，其中\(x=(x_1,\dots,x_n)\)。\(\forall\varepsilon>0\)，由实数的Archimedes性，\(\exists n\in\mathbb{N},R=n\varepsilon>r\)，
考虑 \[ X=\{(y_1,\dots,y_n)\colon \forall i=1,\dots,n,|x_i-y_i|\leq R\}, \] 有\(E\subset B(x,r)\subset X\)。取 \[ Y=\{(y_1,\dots,y_n)|\forall i=1,\dots,n,y_i=x_i+k\varepsilon,k\in\mathbb{Z}\wedge -n\leq k\leq n\}, \] 易知\(|Y|=(2n+1)^3\)，再取\(Z=\{B(y,\frac{\sqrt{3}}{2}\varepsilon)\colon y\in Y\}\)，易知\(E\subset X\subset\bigcup\limits_{A\in Z} A\)，从而\(E\)是完全有界的，即\(E\)是紧集。 \(\Box\)
由此，我们可以导出\(\mathbb{R}^n\)上的一系列定理：
Theorem 3.3.3(Weierstrass极限点定理) \(\mathbb{R}^n\)上的有界无限子集在\(\mathbb{R}^n\)中有极限点。
- Proof 设\(E\)是\(\mathbb{R}^n\)上的有界无限子集，由其有界，则必为一个有界闭集的子集，即为一个紧集的子集，从而在该紧集中有极限点即在\(\mathbb{R}^n\)中有极限点。 \(\Box\)
Theorem 3.3.4(\(\mathbb{R}^n\)的闭集套定理)
\(\{I_n\}\)是\(\mathbb{R}^n\)的闭子集序列，满足\(I_{n+1}\subset I_n,\forall n\in\mathbb{N}^+,\lim\limits_{n\to\infty}\text{diam}I_n=0\)，则\(\bigcap\limits_{i=1}^\infty I_i\)中恰好有唯一一个点。
- Proof 由Theorem 3.2.5和3.3.2，显然成立。\(\Box\)
Theorem 3.3.5(有限覆盖定理) \(\mathbb{R}^n\)上的有界无限子集的一个开覆盖必然有有限子集为该集合的开覆盖。
Theorem 3.3.6(Cauchy收敛准则) \(\mathbb{R}^n\)上的Cauchy序列在\(\mathbb{R}^n\)上收敛。
- Proof 任取\(\mathbb{R}^n\)的一个Cauchy序列\(\{x_n\}\)，取\(\varepsilon=1,\exists N,\forall n,m>N,|x_n-x_m|<1\)，令 \[ r=\max\{d(x_1,x_{N+1}),\dots,d(x_N,x_{N+1}),1\}, \] 则\(\{x_n\}\)是\(A=\{x\in\mathbb{R}^n\colon d(x,x_{N+1})\leq r\}\)上的Cauchy序列，易证\(A\)是有界闭集，从而\(A\)是紧集，\(\{x_n\}\)在\(A\)上收敛，即在\(\mathbb{R}^n\)上收敛。 \(\Box\)
将这些定理限制在\(\mathbb{R}\)上，即可得到Weierstrass极限点定理、闭区间套定理、有限覆盖定理、Cauchy收敛准则，又由\(\mathbb{R}\)的Dedekind完备性可得确界原理，由Weierstrass极限点定理易得致密性定理，这些即实数系常见的基本定理。