前半学期在忙一些其他的事情，所以这份笔记的整理搁置了一些，再加上最近考试比较多，就先写一份引言吧。
这份笔记的目录如下：
这份笔记主要参考了Tao的Analysis、Baby Rudin，另外二三章的一些内容参考了陈天权的数学分析讲义。笔记的起源是我在第一学期的寒假看了一些Tao的Analysis，被这种公理化的数学吸引了，于是我萌生了重新整理学习数分，自己写一份从最基础的部分开始，一步步构造一个完整的体系的想法。当然，人的欲望是无休止的，Analysis正文中介绍的内容并没有满足我，所以这篇笔记的开端不是像Analysis中那样先从Peano公理开始，而是先从数理逻辑的一些基础概念和ZFC集合论开始，并用”所有归纳集的共有元素“代替Peano公理去定义自然数（当然，必须得承认这部分内容是我为了整个体系的完整性临时恶补的，所以很多内容也只是浅尝辄止，掌握的并不扎实）。
定义完自然数集之后，很自然的是借此构造整数环和有理数域，这即是第二章的内容，并且最后提到了有理数域的不完备性，借此引出第三章。
在第三章中我们将要构造实数域，即构造一个Dedekind完备的有序域。在我们上课的教材中，这部分是用无限小数去处理的，我非常不喜欢这种方法。因此，这篇笔记中我给出了利用Dedekind分割和Cauchy序列等价类（并没有循环论证，因为在构造实数域的这部分中，定义Cauchy序列时限定了\(\varepsilon\)取有理数）两种方法，并证明了Dedekind完备的有序域都是同构，这就说明了我们通过各种方法定义出来的实数域并没有区别。在这章的最后，还介绍了欧氏空间和复数域，顺带证明了复数域不是一个序域。
之后我选择了先引入一些基础的拓扑知识，这部分除了我看的两本书之外还查阅了不少资料，虽然实数的六大定理的三十种互推证明很有Tao说的手工数学分析的感觉，但从审美上有时我更倾向于一些软分析的做法。因此这部分从可数性和度量空间讲起一路讲到了紧集，然后证明了一些紧集的性质和欧氏空间上的有界闭集是紧集，借此直接导出了实数的六大定理。
完成了上述工作之后，研究对象又回到了传统的数学分析。当然序列极限的定义是用度量空间给出的，所以没有局限于研究实数的极限，以及这一篇最后讲的度量空间的完备化是我在Baby Rudin的课后题里发现的，当时觉得是个非常不错的例子，所以就一并写进来了。
引入序列极限之后自然就该讲级数了，这些内容大多中规中矩（不过Riemann重排定理真是个有趣的定理）
在讲完序列之后研究对象就转向了函数，其中函数的连续性部分花了不少篇幅讲了连续性与开集、紧集和连通集的关系。当然，这毕竟只是数分笔记，所以连续函数仍然是用常规的方法（虽然对象是度量空间上的函数而不是仅限于实函数，但其实也只是推广了一下实函数连续性的定义）定义的，并没有采用”开集的逆是开集“这种定义，而是作为一个性质给出。另外，还对连续性与凸性的关系进行了讨论。
之后关于是先讲函数项序列还是微积分犹豫了一段时间，最后还是决定沿着函数连续性结合前面的序列极限和级数讲函数项序列与级数。以及在这篇的最后用幂级数定义了指数函数和三角函数，另外还给出了复数域的代数完备性。
之后自然就是微积分了。首先是微分，由于这不是一份初学时的笔记，所以并没有采用一般教材里从一元到多元的方式，而是直接利用线性变换引入多元微分学。当然，实函数的微分的一些特殊性质也会提及。结合函数项级数，我们也构造了处处连续且处处不可导的Weierstrass函数。
讲完微分自然就是积分了很多。在很多实分析教材中（包括Lebesgue本人），都提到Lebesgue积分和Riemann积分的区别在于分割值域还是定义域。但事实上，在笔记中我也提到，这是一个过时的说法。Lebesgue积分与Riemann积分最显著的区别在于完备性，但完备性并不取决于分割定义域还是值域！根据已有文献，如果是基于容度（即可数可加性变为有限可加性），我们也可以通过几乎和构造Lebesgue积分一样的方式给出Riemann积分的一个等价的构造方法。因此，造成完备性的原因在于从容度到测度，而不是从分割定义域到值域。另外，结合之前的函数项级数，还给出了Weierstrass的多项式一致逼近定理。
笔记总体的思路就在上面了，接着是其他一些关于这份笔记我想说的。我自认为这是一份丰富但又简略的笔记，因为这份笔记并不是初学时写的笔记，所以我一直按着我的思路顺着主线一路写下去（例如对微分学，在定义时直接使用线性变换定义，而不是先讲一元再到多元），按照我的品味添加了一些平时的教材里不太涉及的内容，比如在构造实数时给出了两种构造方法、在研究连续性时又给出了关于凸函数和连续性的一些美妙的性质。并且，这份笔记里的每一个概念都是一步步基于前面的内容构造出来的。但这又是简略的，因为我不太喜欢一些具体计算的工作，所以关于很多类似极限计算的方法（题外话：在序列极限中有O'Stolz定理，而且是利用上下极限表示的推广形式）、有理函数的积分的内容就不会涉及了。另外，这份笔记里也没有涉及Green公式之类的内容，毕竟有Stokes定理（指的是\(\int_\phi{\rm d}\omega=\int_{\partial\phi}\omega\)而不是在三维欧氏空间上的那个）了，在二维三维都讨论一遍琐碎的证明实在不是我喜欢的内容。
以及用markdown写的传到博客上后经常出现问题，比如我之前发现第四篇笔记中表示闭包的上划线没渲染出来，导致出现了”\(E\)的闭包\(E\)“这种奇葩内容，但博客传pdf也不太方便，所以最后的决定是我写了一个\(\LaTeX\)的笔记模板，整理一份pdf版的笔记，现已在知乎上发布。当然，由于我在写模板的时候想学着别人给一些环境画个框，所以研究了一下tcolorbox宏包的文档画了两个框。为什么要提这个呢，因为我的模板的很多BUG都来源于此（比如编号错乱）...所以这份模板应该会在我确定没什么明显BUG了之后再公开。
这个学期和暑假应该会开始着手实分析复分析的笔记，另外还有一个代数笔记的计划，区别于一般学习的顺序，初步的打算是从群环模域开始讲起，然后再引入线性代数。